כלל המקבילית – הבדלי גרסאות

במרחב מטרי אין משמעות לחיבור או חיסור של נקודות, ובכל זאת אפשר לשמר גרסה מסויימת של כלל המקבילית. כדי לעשות זאת כראוי, נבחין שאת כלל המקבילית במרחב נורמי אפשר לנסח גם כך: <math>\ 4||\frac{z+z'}{2}||^2 + ||z-z'||^2 =2 (||z||^2+||z'||^2) </math>. כלומר, אם o היא נקודת האפס ו-x היא נקודת האמצע בין z ל-'z, אז <math>\ d(z,z')^2+4d(o,x)^2= 2d(o,z)^2+2d(o,z')^2</math>, כאשר d היא פונקציית המרחק המושרית על-ידי הנורמה, <math>\ d(x,y) = ||x-y||</math>. מסיבה זו, אומרים שמרחב מטרי (X,d) מקיים את '''כלל המקבילית-למחצה''' אם לכל שתי נקודות <math>\ z,z' \in X</math> קיימת נקודה x, כך שלכל נקודה o מתקיים <math>\ d(z,z')^2+4d(o,x)^2 \leq 2d(o,z)^2+2d(o,z')^2</math>. במקרה זה, לכל <math>\ z,z'</math> הנקודה x היא יחידה, ומהווה נקודת אמצעהאמצע (<math>\ d(z,x) = d(x,z')</math>) היחידה בין הנקודות <math>\ z,z'</math>. [[מרחב מטרי שלם]] המקיים את כלל המקבילית-למחצה נקרא [[מרחב ברוה-טיץ]]. התכונה היסודית של מרחבים כאלה היא שכל קבוצה חסומה S מוכלת בכדור ''יחיד'' בעל רדיוס מינימלי; מרכז הכדור הזה הוא "מרכז המעגל החוסם" של S. מכאן נובע '''משפט נקודת השבת של ברוה-טיץ''': אם לחבורת [[איזומטריה|איזומטריות]] של מרחב ברוה-טיץ יש [[מסלול (תורת החבורות)|מסלול]] [[קבוצה חסומה|חסום]], אז יש לה נקודת שבת.