תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
בדומה לזה, מגדירים <math>\ G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>\ G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]].
 
החבורה'''נוסחת עצמה,קומוטטורים והחבורהמוכללת''' המתקבלתהיא מלקיחתהנוסחה הקומוטטור<math>\ של\psi שתי= חבורותx_1</math>, קומוטטוריםאו מוכללות,נוסחה נקראתמהצורה <math>\ \psi = [\psi',\psi''חבורת]</math> קומוטטוריםכאשר מוכללת<math>\ \psi',\psi''</math> הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. [[פיליפ הול]] הוכיחהבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות <math>\ [G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math> (לכל חבורה G), ואלו המקיימות <math>\ \psi(G) \subseteq [G,G'']</math>; והוכיח{{הערה| Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436}} שאםשבמקרה <math>\psi</math> היא נוסחת קומוטטורים מוכללת כך שתמיד <math>\ [G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math>, אזהראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\ \psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את [[תנאי השרשרת העולה]] על תת-חבורות נורמליות. מאידך אם; תמיד <math>\ \psi(G) \subseteq [G,G'']</math>,ובמקרה אזהשני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\ \psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.
 
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>\ A,B,C</math> של <math>\ G</math>, מתקיים <math>\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
 
 
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>\ A,B,C</math> של <math>\ G</math>, מתקיים <math>\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
=== האורך בחבורת הקומוטטורים ===