פעולת חבורה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תקלדה
שורה 40:
פעולת החבורה על <math>\ X</math> [[חלוקה (תורת הקבוצות)|מחלקת]] את הקבוצה ל[[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] הנקראות '''מסלולים''': המסלול של נקודה <math>\ x\in X</math>, המסומן <math>\operatorname{Orb}_G(x)</math> או <math>\ G x = G \cdot x</math> כולל את כל הנקודות שניתן להגיע אליהן מ <math>\ x</math> בעזרת אברי <math>\ G</math>. כלומר כל הנקודות <math>\ G \cdot x = \{ g \cdot x | g\in G\}\subseteq X</math>. אם הקבוצה מורכבת כולה ממסלול יחיד (כלומר, אפשר להגיע מכל נקודה לכל נקודה אחרת), אז הפעולה היא [[פעולה טרנזיטיבית|טרנזיטיבית]].
 
ה{{עוגן2עוגן|מייצב|'''מייצב'''}} של נקודה <math>\ x\in X</math> הוא אוסף כל האברים ב-G השומרים על x במקומו: <math>\ \operatorname{Stab}_G(x) = \{g\in G| g \cdot x =x\}</math> (לעתים מסמנים גם <math>G_x = \operatorname{Stab}_G(x)</math>).
 
המייצב של כל נקודה הוא תמיד [[תת-חבורה]] של G, ו'''משפט מסלול-מייצב''' קובע כי גודל המסלול של x תלוי בגודלו של המייצב: כאשר החבורה סופית מתקיים <math>|G \cdot x|=[G:\operatorname{stab}(x)]</math>.{{הערה|לא קשה לראות כי ההעתקה <math> gG_x \mapsto gx </math> היא חד-חד ערכית ועל, ולפיכך גדלי התחום, <math>[G:G_x] </math>, והטווח, <math>|O(x)|</math>, שווים.}} כמו כן, אם y=gx נמצא במסלול של x אז המייצב של x צמוד למייצב של y: