ממד האוסדורף – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ממשפחה קראית |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
== רקע - ממד "נאיבי" וממד טופולוגי ==
[[
באופן אינטואיטיבי, ממד של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] (למשל תת-קבוצה של [[המרחב האוקלידי]]) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה. מושג מתמטי שמייצג בקירוב גישה נאיבית זו הוא [[ממד טופולוגי|הממד הטופולוגי]] של הקבוצה. [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]], למשל, מתוארת באמצעות שני פרמטרים בלתי תלויים (ה[[קואורדינטות קרטזיות|קואורדינטות הקרטזיות]] שלה), ולכן, במשמעות זו, המישור הוא דו-ממדי. כפי שניתן לצפות, ממד טופולוגי הוא תמיד [[מספר טבעי]].
[[ממד טופולוגי]] מתנהג בדרכים לא צפויות כאשר מדובר בקבוצות מורכבות במיוחד, כגון [[פרקטל
== ממד האוסדורף ==
שורה 14:
=== הגדרה פורמלית ===
ניתן להגדיר את ממד האוסדורף במספר דרכים. להלן הגדרה באמצעות [[מידת האוסדורף]].
יהי <math>(X,\rho)</math> [[מרחב מטרי]] כלשהו.
שורה 20 ⟵ 19:
עבור [[תת-קבוצה]] <math>U\subseteq X</math> נגדיר את ה[[קוטר]] של <math>\ U</math> כך:
:<math>\mathrm{diam}(U):=\sup\{\rho(x,y)|x,y\in U\}, \quad \mathrm{diam}(\emptyset):=0</math>
יהי <math>\ \delta>0</math>, תהי <math>S\subseteq X</math> תת-קבוצה כלשהי ויהי <math>\{ U_i \}_{i\in\mathbb{N}}</math> [[כיסוי]] [[קבוצה בת מניה|בן-מניה]] של <math>S</math>, כלומר <math>S\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}} U_i</math>
נאמר ש-<math>\{U_i\}</math> הוא '''<math>\delta</math>-כיסוי''' של <math>\ S</math> אם לכל <math>i\in\mathbb{N}</math> מתקיים :<math>\operatorname{diam}(U_i)<\delta</math>
יהי <math>d\ge 0</math>. לכל <math>S\subseteq X</math> ולכל <math>\ \delta>0</math> נגדיר
שורה 32 ⟵ 29:
נשים-לב ש-<math>H^d_\delta(S)</math> [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]] עולה ככל ש-<math>\delta</math> קטנה (כי אז יש פחות כיסויים מותרים) לפיכך הגבול <math>\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math> קיים.
נגדיר את '''מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית''' של S כך:
:<math> H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math>
וכעת נגדיר את '''ממד האוסדורף''' של S להיות:
שורה 52 ⟵ 47:
== ממד פרקטלי ==
ממד האוסדורף לרוב קשה מאוד לחישוב. עבור [[פרקטל
הגדרה זו של הממד נותנת אינטואיציה חדשה לגבי מושג הממד.
שורה 80 ⟵ 75:
[[קבוצת קנטור]] היא קבוצה המתקבלת בתהליך איטרטיבי של חלוקת קטע ל 3 והסרת הקטע האמצעי, תהליך זה חוזר על עצמו לאורך כל תת-קטע וכך מתקבל [[פרקטל]] המוכל בקטע [0,1] ב[[שדה המספרים הממשיים|ישר הממשי]]. מהו הממד של קבוצת קנטור?
* בכל שלב באיטרציה אנו מחלקים את קבוצת קנטור לשני עותקים, כל עותק קטן פי 3 מהשלב הקודם. לכן, באיטרציה ה N יש לנו <math>\ 2^N</math> עותקים כאשר כל עותק אורכו קטן פי <math>\ 3^N</math> מהאורך המקורי. לכן,
* <math>\ d=\frac{\log(2^N)}{\log(3^N)} = \frac{N \log(2)}{N \log(3)} = \frac{\log(2)}{\log(3)} \approx 0.63
או
* <math>\ d=\log_{2^n} 3^n =\frac{N}{N} \log_2 3 = \log_2 3 \approx 0.63
כלומר, לקבוצת קנטור יש ממד לא שלם שגדול מ[[0 (מספר)|אפס]] אך קטן מ[[אחד]].
| |||