הבדלים בין גרסאות בדף "בסיס (טופולוגיה)"

הוסרו 4,527 בתים ,  לפני 15 שנים
הפרת זכויות יוצרים
מ (תיקון קל)
(הפרת זכויות יוצרים)
'''בסיס לטופולוגיה''' הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שמאיחודיהן אפשר לקבל את כל הקבוצות הפתוחות השייכות ל[[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]].
 
{{הפרת זכויות יוצרים|מקור= המקור שממנו הועתק התוכן|זמן=23/07/2006(17:30, 23 יולי 2006 (IDT))}}
== הגדרה פורמלית ==
 
יהי <math>\ ( X , \tau )</math> [[מרחב טופולוגי]].
 
אוסף קבוצות <math>\mathbb{B} \subset \tau</math> יקרא '''בסיס לטופולוגיה''' אם כל קבוצה בטופולוגיה ניתנת להצגה כאיחוד של איברי B. זה שקול לכך ש
: <math>\ \forall x \in X , V \in \tau \ : \ x \in V \Rightarrow \exist B \in \mathbb{B} : x \in B \subset V</math>
 
בסיס כזה נקרא לעיתים גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] פונדמנטלית'''.
 
== מושגים הקשורים בבסיס ==
 
* '''בסיס מקומי (לוקלי)''': זהו בסיס לטופולוגיה סביב נקודה מסוימת במרחב X. באופן פורמלי, אוסף <math>\mathbb{B}_x \subset \tau</math> יקרא "בסיס לטופולוגיה בנקודה ב x" אם: <math>\ \forall V \in \tau , x \in V \ : \ \exist B \in \mathbb{B}_x : x \in B \subset V</math>
* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה הראשונה]] (או בקיצור: X ממנייה I) אם לכל נקודה ב-X קיים בסיס מקומי [[בן מניה]].
* '''משקל''': משקל של מרחב טופולוגי, <math>\ w(X)</math> מוגדר להיות ה[[עוצמה]] הקטנה ביותר של בסיס (כלשהו) לטופולוגיה.
* נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את [[אקסיומת המניה השניה]] (או בקיצור: X ממנייה II או מקיים מנייה II) אם המשקל שלו קטן או שווה ל[[אלף 0]] (כלומר: קיים בסיס לטופולוגיה ב X שהוא [[בן מניה]]).
* אוסף של קבוצות חלקיות ל X , <math>\mathbb{S} \subset \tau</math>יקרא '''[[תת-בסיס]]''' אם אוסף כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מ S מהווה בסיס. אוסף S יקרא תת-בסיס של B אם אם כל איבר בבסיס B ניתן להצגה כחיתוך סופי של קבוצות מהתת-בסיס. כלומר: <math>\forall B \in \mathbb{B} : \exist n \in \mathbb{N} , \ S_1 \cdots S_n \in \mathbb{S} \ : \ B = S_1 \cap \cdots \cap S_n</math> .
 
=== אפיון בסיס ותת-בסיס ===
 
המשפט הבא נותן קריטריון פשוט לאפיון וזיהוי בסיס.
 
'''משפט''': נניח ש X מרחב לא ריק. אזי אוסף <math>\mathbb{B}</math> של קבוצות חלקיות ל X יקרא '''בסיס''' [[אם ורק אם]] הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:
# לכל <math>\ x \in X</math> קיימת קבוצה ב B המכילה אותו. במילים אחרות: <math>\ \bigcup{\mathbb{B}} \equiv \bigcup_{B \in \mathbb{B}}{B} = X</math>. כלומר: הבסיס [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X.
# לכל <math>\ B_1 , B_2 \in \mathbb{B}</math> שאינן זרות ולכל <math>\ x \in B_1 \cap B_2</math> קיימת <math>\ B_3 \in \mathbb{B}</math> כך ש <math>\ x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2</math>.
אם שתי תכונות אלה מתקיימות, האוסף <math>\ \tau = \{ \mbox{All unions of sets from } \mathbb{B} \}</math> הוא טופולוגיה על X.
 
המשפט הבא מאפיין תתי-בסיס.
 
'''משפט''': אוסף של תתי-קבוצות של X הוא תת-בסיס אם ורק אם הוא [[כיסוי (טופולוגיה)|מכסה]] את X (כלומר: איחוד כל הקבוצות באוסף שווה ל X).
 
== דוגמאות ==
 
* ב[[מרחב מטרי]], אוסף כל [[כדור (טופולוגיה)|הכדורים הפתוחים]] הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי ה[[מטריקה]].
* מעל [[הישר הממשי]], הקבוצה <math>\ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \}</math> היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
* במרחב <math>\mathbb{R}</math> עם הטופולוגיה המטרית (ה[[מטריקה]] היא [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]]) הקבוצה <math>\ \mathbb{S} = \{ (a,\infty) , ( - \infty , b) | a,b \in \mathbb{R} \} </math> היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
* [[הישר העשיר]] מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.
 
----
 
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
 
{{טופולוגיה}}
{{נ}}
משתמש אלמוני