ממוצע אריתמטי-גאומטרי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קטגוריה:קרל פרידריך גאוס באמצעות HotCat |
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד |
||
שורה 53:
==תכונות==
קל להוכיח ([[אי שוויון הממוצעים]]) ש- <math>\ b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n</math> לכל <math>\ n>0</math>, ואם <math>\ b<a</math>, הממוצע מתכנס לגבול מסוים, לפי [[הלמה של קנטור]], מקיים <math>\ b<M(a,b)<a</math>.
לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה <math>\ M</math> [[פונקציה הומוגנית|הומוגנית]] מסדר 1 (כלומר, <math>\ M(\lambda a,\lambda b) = \lambda M(a,b)</math>; לכן, אם מגדירים <math>\ f(x) = M(1,x)</math>, אפשר לשחזר את <math>\ M</math> לפי הזהות <math>\ M(a,b)=a\cdot f(b/a)</math>. בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי <math>\ M(a,b) = M(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab})</math>; במלים אחרות, <math>\ f(x) = \frac{1+x}{2} \cdot f(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})</math>.
| |||