קבוצה קומפקטית – הבדלי גרסאות

מושג הקומפקטיות הופיע בצורה מפורשת רק בתחילת המאה העשרים, אך ניצניו מצויים בהתפתחויות עיקריות באנליזה המתמטית מתחילת הרבע האחרון של המאה התשע-עשרה. ב-[[1817]] אפיין [[ברנרד בולצאנו|בולצאנו]] את [[תכונת החסם העליון]] של הממשיים, שעל בסיסה הוכיח [[ויירשטראס]] ב-[[1877]] את [[משפט בולצאנו-ויירשטראס]]: קבוצה בממשיים כוללת גבול לכל סדרה אם ורק אם היא סגורה וחסומה. במקביל לגישה זו שחקרה את הממשיים באמצעות סדרות, התפתחה גישה הלומדת אותם באמצעות קטעים פתוחים. ב-[[1872]] הוכיח [[אדוארד היינה]] (1821-1881) שפונקציה רציפה בקטע סגור היא [[פונקציה רציפה במידה שווה|רציפה במידה שווה]] ([[דיריכלה]] הוכיח זאת כבר ב-[[1852]], אלא שהגרסה שלו לא פורסמה עד [[1904]]). בהמשך לעבודתו של היינה, הראה [[ארמנד בורל]] בעבודת הדוקטורט שלו ב[[1894]] שקטע סגור בממשיים הוא, במונחים מודרניים, קומפקטי. מושג הרציפות במידה שווה עמד ביסוד [[משפט ארצלה-אסקולי]] ([[1883]] ו-[[1893]]) על התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות רציפות.