טור (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה <math>\!\, y=1</math> (למשל, בעזרת [[מבחני התכנסות לטורים#מבחן לייבניץ|מבחן לייבניץ]]), ולכן נציב <math>\!\, y=1</math> ונקבל: <math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{k+1}=\ln(2)</math>. והרי <math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{1}{k}</math>, ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת: <math>\sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1}\frac {1}{k}=\ln(2)</math>.

 

לעתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט [[טור טיילור]] של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של <math>\ \ln(1+x)</math> על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל-<math>\ \ln(2)</math>.

 

[[טור פורייה]] הוא הצגה של פונקציה כטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. באמצעות הצבה בתוך הטור או על ידי שימוש ב'''זהות פרסבל''' אפשר לחשב באמצעותו טורים שונים, למשל ערכים שונים של [[פונקציית זטא של רימן]]. לדוגמה:

 

</center>

 

טור טלסקופי הוא טור מהצורה <math> \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n - a_{n-1})}</math> וקל לחשב את סכומו שכן

<center>