מרחב נורמי – הבדלי גרסאות

נוספו 1,306 בתים ,  לפני 7 שנים
קצת על מרחבים נורמיים מממד סופי.
מ (בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-{{נ}} +))
(קצת על מרחבים נורמיים מממד סופי.)
מרחב נורמי שהוא [[מרחב שלם]] נקרא [[מרחב בנך]].
 
[[מרחב מכפלה פנימית]] הוא בפרט מרחב נורמי, כאשר המכפלה פנימית משרה נורמה טבעית באופן הבא: <math>\ \| \vec{V} \| = \sqrt{ \lang \vec{v} , \vec{v} \rang}</math> . מרחב נורמי כזה נקרא "[[מרחב אוקלידי (מוכלל)]]", שכן כינורמה נורמתהמושרית מכפלהממכפלה פנימית מהווהזו בעצםמגדירה הכללהאת שלמושג ה[[אורך]] ב[[גאומטריה אוקלידית]].
 
במרחבמרחב נורמי ניתןהוא להשרות באופן טבעי [[טופולוגיה]]בפרט [[מרחב מטרי|מטרית]], עלכאשר ידיהנורמה בחירתמשרה ה[[מטריקה]] טבעית באופן הבא: <math>\ d(x,y) = \| x - y \|</math>. בפרט גם זהו מרחב טופולוגי טבעי (ביחס ל[[בסיס (טופולוגיה)|בסיס]] הכדורים הפתוחים במטריקה).
שאותה ניתן לממש בעזרת הכדורים הפתוחים והסגורים.
 
==מרחבים נורמיים בעלי ממד סופי==
מרחב וקטורי X נקרא מרחב בעל נורמה אם קיים [[פונקציונל]] ||.||:X->R המשיק לכל x השייך ל X.מספר ממשי הקרוי הנורמה של x כך שמקיים התכונות הבאות:
 
במרחב וקטורי <math>\| V \|</math>בעל ממד סופי, כל הנורמות '''שקולות'''. כלומר לכל זוג נורמות <math>\| \cdot \|_1 , \| \cdot \|_2</math> קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים <math>c,C</math>, כך שלכל <math>\vec v \in V</math> מתקיים <math>c \cdot \| \vec v \|_1 \leq \| \vec v \|_2 \leq C \cdot \| \vec v \|_1</math>.
לכל <math>x, y \in X</math> מתקיים:
 
כדי להראות זאת, מספיק להראות שכל הנורמות שקולות ל{{ה|נורמה האוקלידית}}: <math>\| \vec v \| = \| (v_1,...,v_n) \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n{\left| v_i \right|^2}}</math>.
* <math> 0 \le \left \| x \right \|</math>
 
ניתן להראות כי השקילות של נורמה כלשהי <math>\| \cdot \|^*</math> לנורמה האוקלידית <math>\| \cdot \|</math> מתקבלת על ידי <math>c \cdot \| \vec v \| \leq \| \vec v \|^* \leq C \cdot \| \vec v \|</math> כאשר את הקבועים <math>c,C</math> ניתן לבחור באופן הבא:
* <math> x = \vec{0} \Leftrightarrow \left \| x \right \| = 0 </math>
* קביעת <math>C</math>: קובעים בסיס של המרחב <math>\left\{ \rho_1,...,\rho_n \right\} </math>, ומגדירים <math>C := \sqrt{\sum_{i=1}^n{\| \rho_i \|^2}} </math>.
* קביעת <math>c</math>: מגדירים אופרטור <math>f(u) = \| \sum_{i=1}^n u_i \cdot \rho_i \|</math> על מעגל היחידה (כלומר לכל וקטור <math>u</math> המקיים <math>\| u \| = 1</math>). מקומפקטיות מעגל היחידה ורציפות האופרטור <math>f</math> נובע שמתקבל מינימום עבור איזשהו <math>u'</math>, ומגדירים <math>c := f(u')</math>.
 
==קישורים חיצוניים==
* <math> \left \| \ \alpha\cdot \ x \right \| = \ |\alpha| \cdot \left \| x \right \|</math>
 
* <math>\left \| x + y \right \| \le \left \| x \right \| + \left \| y \right \| </math>
 
* [http://www.math.colostate.edu/~yzhou/course/math561_spring2011/norm_equiv.pdf Equivalence of Norms in Finite Dimension], Colorado State University
 
{{קצרמר|מתמטיקה}}