ויקיפדיה

פוטנציאלים תרמודינמיים – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
הורדת {{בעבודה}}
רווחים
שורה 3:
 
הפוטנציאלים התרמודינמיים הם הכללה של המושג של [[אנרגיה פוטנציאלית]] למערכות תרמודנימיות: מערכת תשאף להיות במינימום של הפוטנציאל התרמודינמי, והפרש בין ערכי הפוטנציאל עם שינוי משתנים של המערכת מתאר את האנרגיה שאפשר להפיק ממנה על ידי שינוי זה (או שצריך להשקיע בה בשביל לקבל שינוי זה). אולם בתנאים שונים יש צורך להסתכל בפוטנציאלים תרמודינמיים שונים לשם כך. למשל, מערכת שנמצאת בטמפרטורה קבועה (כלומר שנמצאת במגע תרמי עם הסביבה וחום יכול לזרום ממנה או אליה, כך שהטמפרטורה תשאר קבועה), תתנהג באופן שונה ממערכת שמבודדת תרמית מהסביבה, ולכן לכל סיטואציה כזו מתאים פוטנציאל תרמודינמי אחר.
 
 
==משתנים נשלטים ולא נשלטים==
מערכות תרמודינמיות מאופיינות על ידי משתנים כמו ה[[טמפרטורה]] <math>T</math>, ה[[אנטרופיה]] <math>S</math>, ה[[לחץ]] <math>P</math>, ה[[נפח]] <math>V</math>, מספר החלקיקים <math>N_i</math> מסוג <math>i</math>, וה[[פוטנציאל כימי|פוטנציאל הכימי]] <math>\mu_i</math> עבור חומר זה. אולם אי אפשר לשלוט על כל הגדלים האלה, אלא רק על חלקם, והם מתחלקים לזוגות של משתנים מצומדים, שאחד מהם הוא [[גודל אקסטנסיבי|אקסטנסיבי]] והשני [[גודל אינטנסיבי|אינטנסיבי]]. הבולטים והחשובים בין זוגות אלה הם:
*'''אנטרופיה וטמפרטורה''': אם מערכת מבודדת תרמית מהסביבה ניתן לשלוט על האנטרופיה שלה, אבל לא על הטמפרטורה שלה. לעומת זאת, אם שולטים על הטמפרטורה שלה, זורם אליה או ממנה [[חום (פיזיקה)|חום]] ממאגר חיצוני בצורה בלתי נשלטת, והאנטרופיה מתאימה את עצמה למצב.
*'''נפח ולחץ''': אם שולטים על הנפח של המערכת (כלומר שמים אותה בכלי סגור וקשיח) אי אפשר לשלוט על הלחץ, אלא הוא ייקבע על ידי שאר התנאים. לעומת זאת אם שולטים על הלחץ של המערכת (למשל נוזל שנמצא בכלי פתוח כשהאויר בלחץ מסוים, או גז שנמצא בכלי עם מכסה שחופשי לנוע מעלה ומטה, ושעליו אפשר לשים משקולות) מוותרים על השליטה בנפח שתופסת המערכת.
שורה 21 ⟵ 20:
===צורה כללית וטרנספורמי לז'אנדר===
מכיוון שהפוטנציאלים התרמודינמיים הם משתני מצב, שלא תלויים בהיסטוריה של המערכת, אלא רק במצבה הנוכחי, ניתן להביע שינוי אינפיניטיסימלי שלהם כ[[דיפרנציאל שלם]]. באופן כללי יהיה אפשר לכתוב עבור פוטנציאל תרמודינמי <math>\ \Phi </math>:
:<math>\ d\Phi = \sum_i{Y_i dX_i} </math> ,
כאשר:
*<math>\ X_i </math> הוא משתנה טבעי של הפוטנציאל התרמודינמי
*<math>\ Y_i =\left( \frac{\partial \Phi}{\partial X_i} \right)_{X_{j \neq i}}</math> הוא (עד כדי סימן) המשתנה הבלתי נשלט המצומד ל <math>\ X_i </math>.
כאשר רוצים לעבור מסט משתנים טבעיים <math>\ \{ X_i \} </math>, לסט משתנים חדש
<math>\ \{ X_{i \neq j}, Y_j \} </math>, הביטוי עבור הדיפרנציאל מראה מה צריך להיות הפוטנציאל התרמודינאמי שיתאים לסט המשתנים החדש. אם מגדירים:
:<math>\ \Phi^{[j]} = \Phi - X_j Y_j </math>,
אז הדיפרנציאל של ביטוי זה יהיה:
:<math>
d\Phi^{[j]} = \sum_i{Y_i dX_i} - Y_j dX_j - X_j dY_j = \sum_{i\neq j}{Y_i dX_i}- X_j dY_j
</math> ,
שזה בדיוק סוג הביטוי שצריך להיות לדיפרנציאל של פוטנציאל שזה סט המשתנים הטבעיים שלו. טרנספורמציות אלה קרויות '''[[טרנספורם לז'נדר]]'''.
שורה 42 ⟵ 41:
 
בעזרת טרנספורמציות לז'אנדר אפשר עכשיו לקבל ביטויים עבור הפוטנציאלים השונים המתאימים לסטים של המשתנים הטבעיים הרצויים. כך שאם רוצים למצוא למשל את הפוטנציאל שהטמפרטורה היא משתנה טבעי שלו, במקום האנטרופיה (כלומר הפוטנציאל שמתאים ל[[תהליך איזותרמי|תהליכים איזותרמיים]], במקום ל[[תהליך אדיבאטי|תהליכים אדיבאטיים]]), מגדירים <math>\ F = U-TS </math>,
(המכונה [[אנרגיה חופשית של הלמהולץ]]). ואכן
:<math>\ dF= dU-d(TS) = (\underline{TdS} - PdV+ \sum_i \mu_i d N_i) - (\underline{TdS} + SdT) =- SdT - PdV+ \sum_i \mu_i d N_i</math>.
כלומר מתקבל פוטנציאל תרמודינמי שהמשתנים הטבעיים שלו הם כמו של האנרגיה הפנימית, למעט הטמפרטורה שמחליפה את האנטרופיה (שהיא המשתנה הצמוד שלה).
 
בעזרת הביטוי של הדיפרנציאל אפשר, בהינתן הפוטנציאל התרמודינמי ''של מערכת ספציפית'' כפונקציה של המשתנים הטבעיים שלו, לקבל על ידי גזירה ביטויים עבור המשתנים הלא נשלטים. לדוגמה מהאנרגיה הפנימית ניתן לגזור את:
:<math>\ T = \left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N_i} </math>,
:<math>\ P = \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N_i} </math>.
כאשר נתון דוקא ביטוי עבור האנרגיה החופשית של הלמהולץ, זו דוקא האנטרופיה שאפשר לגזור אותה ממנו:
:<math>\ S = -\left( \frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N_i} </math>.
לעומת זאת, הביטוי עבור הלחץ יהיה דומה לזה שגוזרים מהאנרגיה הפנימית:
שורה 87 ⟵ 86:
===משוואות אויילר===
בגלל שאנרגיה הפנימית היא [[גודל אקסטנסיבי]] (כמו כל הפוטנציאלים התרמודינמיים), ובגלל שכל המשתנים הטבעיים של האנרגיה הפנימית, גם הם גדלים אקסטנסיביים, הרי האנרגיה הפנימית היא [[פונקציה הומוגנית]] שמקיימת:
:<math>\ \alpha f (x_i)= f (\alpha x_i) </math>.
ומגזירה של המשוואה לפי <math>\alpha</math> היא מקיימת גם:
:<math> f (x_i) = \sum_i {\left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)x_i} </math>.
המשמעות עבור האנרגיה הפנימית, היא '''משוואת אויילר''':
:<math>\ U=TS-PV+ \sum_i {\mu_i N_i} </math>.
(אם יש עוד זוגות משתנים שמתאימים לתיאור המערכת, המשואה תכיל גם אותם).
 
מהקשרים בין הפוטנציאלים התרמודינמיים השונים, ניתן לקבל משוואות דומות עבורם. קשרים אלה נובעים מטרנספורמי לז'אנדר שמחסרים או מחברים צמדים של משתנים מצומדים, וניתן לראות שהם מקזזים בדיוק את האיברים השונים במשוואת אויילר עבור האנרגיה הפנימית. באופן כללי עבור פוטנציאל תרמודינמי, הביטוי במשוואת אויילר שלו יכיל רק צמדים שהמשתנה הטבעי מהם הוא אקסטנסיבי. ניתן לראות את זאת גם ישירות באותה דרך בה התקבלה המשוואה עבור האנרגיה הפנימית.
כך למשל עבור [[האנרגיה החופשית של גיבס]] שמבין המשתנים הטבעיים שלה רק מספרי החלקיקים הם אקסטנסיביים (ואילו הלחץ והטמפרטורה אינטנסיביים) משוואת אויילר היא:
:<math>\ G= \sum_i {\mu_i N_i} </math>.
מסקנה חשובה היא שלא ייתכן פוטנציאל תרמודינמי שתלוי רק במשתנים אינטנסיביים. מסקנה זו מתבקשת, מכיוון שלא ייתכן גודל אקסטנסיבי שלא תלוי בשום משתנה אקסטנסיבי, אחרת אין שום דרך ממנו הוא "מקבל מידע" על כמות החומר המערכת.
 
===קשרי גיבס - דוהם===
מביצוע דיפרנציאציה על משוואת אויילר של האנרגיה הפנימית, והשוואה לביטוי הרגיל של הדיפרנציאל של האנרגיה הפנימית, מתקבלת המשוואה:
:<math>\ SdT -VdP+ \sum_i {N_i d\mu_i} = 0 </math>.
משוואה זו מקשרת בין הדיפרנציאלים של המשתנים האינטנסיביים (ושוב מראה שלא ייתכן סט בלתי תלוי של משתנים אינטנסיביים). היא מכונה משוואת גיבס - דוהם.
 
שורה 109 ⟵ 108:
[[ru:Термодинамические потенциалы]]
[[sl:termodinamski potencial]]
 
[[קטגוריה:תרמודינמיקה]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/פוטנציאלים_תרמודינמיים"