תבנית קילינג – הבדלי גרסאות

תהי '''<math>L'''</math> [[אלגברת לי]] נתונה מעל שדה '''<math>F'''</math>. '''תבנית קילינג''' של '''<math>L'''</math> היא התבנית

::::::: <math>k(x,y)=\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y))</math>,

* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של '''<math>L'''</math>, כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם '''<math>g'''</math> של '''<math>L'''</math>.

'''משפט:''' תהי אלגברת לי '''<math>L'''</math> מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז '''<math>L'''</math> היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית בילינארית|רגולרית]].

'''הוכחה:''' נניח ש'''-<math>L'''</math> פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>\operatorname{Rad}(k)</math> אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in \operatorname{Rad}(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>\operatorname{Tr}(\operatorname{ad(}x) \cdot \operatorname{ad(}y))=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [\operatorname{Rad}(k),\operatorname{Rad}(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>\operatorname{Rad}(k)</math> פתיר.

''בכיוון ההפוך'', נניח ש-'''<math>k'''</math> רגולרית, כלומר <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של '''<math>L'''</math> פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאל (אלגברת לי)|אידאל]] אבלי (אידאל '''<math>I'''</math> המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[אלגברת לי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).

אם כן יהי '''<math>I'''</math> אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>\operatorname{ad(}x) \cdot \operatorname{ad(}y):L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(\operatorname{ad(}x) \cdot \operatorname{ad(}y))}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>\operatorname{ad(}x) \cdot \operatorname{ad(}y)</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(\operatorname{ad(}x) \cdot \operatorname{ad(}y))=0</math>. כלומר <math>I \subseteq \operatorname{Rad}(k)=0</math>, ולכן הוא אפס.