קבוצה קומפקטית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 66:
* תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית.
כלומר, אם <math>\ X,Y</math> מרחבים טופולוגיים ו- <math>\ f:X\rightarrow Y</math> פונקציה [[רציפות|רציפה]], ו- <math>\ K \subseteq X</math> קומפקטית, אז <math>\ f(K)</math> קומפקטית.
ההוכחה קלה מאד: אם <math>\ \{U_{\alpha}\}</math> כיסוי פתוח של <math>\ f(K)</math>, אז <math>\ \{f^{-1}(U_{\alpha})\}</math> כיסוי פתוח של K (הוא פתוח, כי אם יש סדרה ב K שמתכנסת לנקודה k, אז הפעלת <math>\ f</math> על איברי הסדרה מניבה סדרה שמתכנסת ל <math>\ f(k)</math> [מרציפות]) ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שתמונתו תחת <math>\ f</math> היא תת-כיסוי סופי של <math>\ f(K)</math>.
בפרט, פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית היא בעלת תמונה סגורה וחסומה, ומכאן נובעים מיד שני [[משפטי ויירשטראס]] בנוסחם הכללי:
| |||