משפט גאוס-בונה – הבדלי גרסאות

נוספו 30 בתים ,  לפני 6 שנים
אין תקציר עריכה
== דוגמאות והשלכות ==
 
הטופולוגיה של משטח רימן קומפקטי אינה מסובכת: מציין אוילר מגדיר את המשטח. עם זאת, על כל מבנה טופולוגי, אפשר להשרות את המבנה המטרי באינסוף דרכים. משפט גאוס-בונה מראה שבכל הדרכים האלה אינטגרל העקמומיות הוא קבוע. במלים אחרות (כשאין למשטח שפה), העקמומיות הממוצעת עומדת ביחס הפוך לשטח. לדוגמא, מציין אוילר של כדור הוא 2. עקמומיות-גאוס של כדור נעשית קטנה יותר ככל שהכדור גדל: העקמומיות של כדור ברדיוס R היא <math>1/R^2</math>. לפי משפט גאוס -בונה, יוצא ששטח הכדור כפול העקמומיות הקבועה הזו שווה תמיד ל-<math>4\pi</math>.
 
הקומפקטיות היא תנאי הכרחי במשפט: לעיגול היחידה הפתוח עקמומיות אפס, ולכן האינטגרל של העקמומיות שווה גם הוא לאפס; אבל לעיגול יש מציין אוילר 1. אכן, אם מוסיפים לכדור הפתוח את השפה שלו, השוויון מתקיים, משום שהאינטגרל על פני עקמומיות השפה הוא <math>2\pi</math>.