אלגברת קיילי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1 |
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) נורמה |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''אלגברת קיילי''' היא [[אלגברה אלטרנטיבית]] [[אלגברה פשוטה|פשוטה]] מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] 8.
{{הערה|1=E. Kleinfeld, Simple alternative rings, Ann. Math. 58, 544-547 (1953)}}. כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת קיילי מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה <math>\ (Q,\gamma)=(\alpha,\beta,\gamma)</math> היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים <math>\ Q=(\alpha,\beta) = F[x,y|x^2=\alpha,y^2=\beta,yx=-xy]</math> (ההצגה - בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים <math>\ z^2 = \gamma</math>.
מעל כל שדה, יש '''אלגברת קיילי מפוצלת''' אחת, וכל שאר
<math>\ e = \frac{1}{2}(z+1)</math> אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים ב[[פירוק פירס]] הם <math>\ C_{00} = F(z-1), C_{11} = F(z+1), C_{01} = (z-1)Q_0, C_{10} = (z+1)Q_0</math>, כאשר <math>\ Q_0</math> הוא מרחב האברים בעלי עקבה 0 ב-Q.
==נורמה==
== אלגברת הנגזרות ==▼
[[אלגברת הרכבה#תבנית הנורמה|תבנית הנורמה]] של אלגברת קיילי קובעת את האלגברה - לפי משפט של [[נתן ג'ייקובסון]], שתי אלגבראות קיילי ממאפיין שונה מ-2 <math>C, C'</math> עם תבניות נורמה <math>n,n'</math> הן איזומורפיות אם ורק אם תבניות הנורמה שלהן שקולות (כלומר קיים איזומורפיזם <math>f:C \to C'</math> כך ש-<math>n'(f(x))=n(x)</math>.
בפרט, ניתן להסיק כי כל שתי אלגבראות קיילי (מעל שדה ממאפיין לא 2) מפוצלות הן איזומורפיות.
מעל שדות ממאפיין שונה מ-2 ו-3, [[אלגברת הנגזרות]] של אלגברת קיילי היא [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה|פשוטה]] מ[[G2 (אלגברת לי)|טיפוס G2]]. במאפיין שאינו 2 או 3, כל [[נגזרת (אלגברה)|נגזרת]] של האלגברה היא סכום של פעולות מהצורה <math>\ R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_x,R_y]</math>, ובפרט היא '''נגזרת פנימית'''.
| |||