משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)

בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין $p$ תהיה מעגלית מסדר $p$. בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.

המשפט

תהי $L/K$ הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר $charK=p$. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר $p$ אם ורק אם $L=K(\alpha )$ עבור $\alpha \in L\setminus K$ המקיים $\alpha ^{p}-\alpha \in K$.

הוכחה

כיוון אחד: נניח $Gal(L/K)$ מעגלית מסדר $p$. יהי $\sigma$ יוצר שלה. אז $Tr(-1)=-1+\sigma (-1)...+\sigma ^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0$ ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש $\alpha \in L$ כך ש-$\alpha -\sigma (\alpha )=-1$. מכאן $\sigma (\alpha )=\alpha +1$ ומכאן $\sigma ^{i}(\alpha )=\alpha +i$. אז $\alpha \notin K$ כי $\sigma (\alpha )\neq \alpha$, וכיוון ש$[k(\alpha ):K]=p$, $[k(\alpha ):K]|p$ ולכן $[L:k(\alpha )]=1$ ולכן $L=K(\alpha )$. כמו כן לכל $i$, $\sigma ^{i}(\alpha ^{p}-\alpha )=\sigma ^{i}(\alpha )^{p}-\sigma (\alpha )=(\alpha +i)^{p}-\alpha +i=\alpha ^{p}-\alpha$ ולכן $\alpha ^{p}-\alpha \in K$.

כיוון שני: נניח $L=K(\alpha )$. נסמן $f=x^{p}-x-\alpha ^{p}+\alpha$. אז לכל i מתקיים $f(\alpha +i)=(\alpha +i)^{p}-\alpha -i-\alpha ^{p}-\alpha =i^{p}-i=0$ לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן $f$ מתפצל ב-$L$. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן $L/K$ הרחבת גלואה. כל איבר בה, $\sigma$, הוא K-אוטומורפיזם של $L$ ולכן מעביר את $\alpha$ לשורש כלשהו של $f$, $\alpha +i$. לכן אפשר להגדיר פונקציה $\omega :Gal(L/K)\to Z_{p}$ המקיימת $\sigma (\alpha )=\alpha +\omega (\sigma )$.

יהיו $\sigma ,\tau \in Gal(L/K)$. אז $\omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau )$ ולכן $\omega$ הומומורפיזם. תמונתו היא תת חבורה של $Z_{P}$, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של $\omega$ הוא $\{\sigma |\sigma (\alpha )=\alpha \}=\{Id\}$ לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר $p$ כרצוי.