אי-שוויון המשולש – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני 8 שנים
מ
הורדת שימוש בתג br*
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Noon (שיחה | תרומות)
מ שוחזר מעריכות של 212.179.28.34 (שיחה) לעריכה האחרונה של דוד שי
מ הורדת שימוש בתג br*
שורה 4:
== אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים ==
 
בין ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] מודדים מרחק באמצעות ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]], ולכן אי-שוויון המשולש הוא <math>\ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|</math>. כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית <math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>. צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים <math>\ -|x|\leq x \leq |x|</math> ו- <math>\ -|y|\leq y \leq |y|</math>, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y. <br />{{ש}}
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: <math>|x-y| \geq \bigg||x|-|y|\bigg|</math>
 
=== הוכחת אי-שוויון המשולש - פורמלי ===
<math>\ -|x|\leq x \leq |x|</math> ו-<br />{{ש}}
<math>\ -|y|\leq y \leq |y|</math> נחבר בין אי השוויונים הנ"ל. ונקבל<br />{{ש}}
<math>\ -|x|-|y|\leq x+y \leq |x|+|y|</math> קל לראות כי הביטוי שקול ל- <br />{{ש}}
<math>\ -(|x|+|y|)\leq x+y \leq |x|+|y|</math> ולכן:<br />{{ש}}
<math>\ |x+y| \leq |x|+|y|</math><br /><br />{{ש}}{{ש}}
 
=== המקרה המרוכב ===