פונקציות היפרבוליות – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
מ (←‏הגדרה לפי טורים: תיקון קישור פנימי.)
מאין תקציר עריכה
[[תמונה:Hyperbolic functions.svg|שמאל|250px]]
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציות היפרבוליות''' אנלוגיות ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]] הרגילות: בעוד שהנקודות <math>\ \left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)</math> יוצרות יחדיו מעגל, הנקודות <math>\ \left(\cosh\left(t\right),\sinh\left(t\right)\right)</math> מגדירות את החלק הימני של ה[[היפרבולה]] <math>\ x^2-y^2=1</math>, ומכאן שמן. הפרמטר <math>\ t</math> הנוהוא [[זווית היפרבולית]] המייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על העקום לעיל, כפי שמתואר באיור משמאל.
 
==הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות==
בהינתן <math>\ i^2 = -1</math> (ראו [[מספרים מרוכבים]]) הפונקציות ההיפרבוליות הן:
 
[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] היפרבולי: <math>\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin(i x)</math>
 
<math>\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin(i x)</math>
 
[[קוסינוס]] היפרבולי: <math>\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos(i x) </math>
 
<math>\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>.
בדומה לפונקציה <math>\ \cos x</math>, הפונקציה <math>\ \cosh x</math> הינההיא [[פונקציה זוגית]] (סימטרית סביב ציר Y)ו־cosh 0=1. באופן דומה, הן הפונקציה <math>\ \sin x</math> והן הפונקציה <math>\ \sinh x</math> הינןהן [[פונקציה אי זוגית|פונקציות אי זוגית]] (סימטרית סביב ראשית הצירים)ו <math>\ \sinh 0=0</math>. הפונקציות ההיפרבוליות מקיימות זהויות רבות, כולן דומות ל[[זהויות טריגונומטריות]]. למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל ביטוי שמכיל שני סינוסים היפרבוליים. לדוגמה:
:<math>\cosh^2(x) = \frac{1+\cosh(2x)}{2} \Rightarrow \cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}</math>