קומפקטיפיקציה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Arh (שיחה | תרומות)
מ אינטר-ויקי
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
ב[[טופולוגיה]], קומפקטיפיקציה של [[מרחב טופולוגי]] היא [[שיכון]] שלו בתוך [[מרחב קומפקטי]] באופן שהמרחב הראשון [[צפוף]] בשני. צעד זה מאפשר ליהנות מהתכונות החזקות של המרחב הקומפקטי.
 
לדוגמא,דוגמה: הקטע הסגור [0,1] מהווה קומפקטיפיקציה של הקטע הפתוח (0,1), וגם של הישר הממשי כולו: בשני המקרים הקומפקטיפיקציה כוללת "המצאה" יש-מאין של נקודה חדשה, והדבקתה לשני הקצוות של המרחב הטופולוגי (קצוות "אמיתיים" במקרה הראשון, ו"מדומים" במקרה השני).
 
המתמטיקאי הרוסי [[אלכסנדרוף]] הראה שלכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציה על-ידי הוספה של נקודה אחת. הרעיון הוא להעתיק אתאל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את אלו הכוללות את הנקודה החדשה ומשלימותיהן סגורה וקומפקטית.
 
כדוגמאכדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את המישור המרוכב במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל [[סדרה]] שהערךשה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של איבריה שואף לאינסוףל[[אינסוף]], מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוף, והמרחב המתקבל הוא [[הספירה של רימן]]. אפשרות שניהשנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות בהתאמהב[[התאמה חד-חד-ערכית]] לזוויותל[[זווית|זוויות]] של ישרים. בדוגמאבדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית t אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא [[אסימפטוטה|אסימפטוטית]] לישר שהזווית שלו t. המרחב המתקבל [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] למעגל היחידה הסגור.
 
תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא [[השלמה]] של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו.
 
[[Category:טופולוגיה]]