הבדלים בין גרסאות בדף "מספר זוגי"

נוספו 594 בתים ,  לפני 5 שנים
מ
מוויקי האנגלית
מ (קישור לא נחוץ ועובדת טריוויה ביחס לערך הזה)
מ (מוויקי האנגלית)
{{סימון מתמטי}}
'''מספר זוגי''' הוא [[מספר שלם]], ה[[חלוקה בשתיים|מתחלק בשתיים]] ללא [[שארית (חילוק)|שארית]]. מספר שלם שאינו מספר זוגי נקרא '''מספר אי־זוגי'''. לדוגמה, <math>\ 2 ,4 ,-18 ,0</math> הם מספרים זוגיים, ואילו [[7 (מספר)|7]] אינו זוגי אלא אי־זוגי. המספרים הזוגיים נקראים כך משום שאם ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] יש מספר זוגי של עצמים, אז אפשר לחלק אותם לזוגות. מספר שלם שאינו מספר זוגי נקרא '''מספר אי־זוגי'''.
 
כש[[חילוק|מחלקים]] מספר ב־ [[2 (מספר)|2]], השארית היא 0 אם המספר זוגי, ו־ 1 אם הוא אי־זוגי. התכונה של מספר להיות זוגי או אי־זוגי נקראת '''זוגיות'''. הזוגיות נקבעת, אם־כך, לפי השארית בחלוקה ל־ 2.
 
את קבוצת המספרים השלמים, <math>\mathbb{Z}</math>, ניתן לחלק לשתי קבוצות זרות:
* '''זוגיים''': <math>\{ 2k: k \in \mathbb{Z} \}</math>
* '''אי־זוגיים''': <math>\{ 2k+1: k \in \mathbb{Z} \}</math>
 
== תכונות אריתמטיות ==
סכום של שני מספרים זוגיים, או של שני מספרים אי־זוגיים, הוא זוגי. הסכום של מספר זוגי ומספר אי־זוגי הוא אי־זוגי.{{ש}} המכפלה של מספר זוגי בכל מספר שלם היא זוגית. המכפלה של שני מספרים אי־זוגיים היא אי־זוגית. כל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] (במספר טבעי גדול מאפס) של מספר זוגי היא זוגית, וכל חזקה (במספר טבעי) של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.
המכפלה של מספר זוגי בכל מספר שלם היא זוגית. המכפלה של שני מספרים אי־זוגיים היא אי־זוגית.{{ש}}
כל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] (במספר טבעי גדול מאפס) של מספר זוגי היא זוגית, וכל חזקה (במספר טבעי) של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.
 
[[סימני התחלקות|סימני החלוקה]]:
* מספר שלם הנתון ב[[הצגה עשרונית]] הוא זוגי [[אם ורק אם]] [[ספרה|ספרת]] האחדות שלו זוגית (כלומר, שווה ל־ 0, 2, 4, 6 או 8).
* עובדה זו נכונה בכל [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] זוגי: המספר זוגי אם ורק אם ספרת האחדות זוגית. הסיבה לכך היא שכל ספרה שמעל לספרת האחדות תורמת כפולה של הבסיס, ולכן אינה משפיעה על הזוגיות. בהתאם לכך, [[מספר בינארי]] הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 0, והוא אי־זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 1.
* בבסיס אי־זוגי, מספר הוא זוגי אם ורק אם יש בו מספר זוגי של ספרות אי-זוגיות (ובניסוח שקול: ספר הוא זוגי אם ורק אם סכום הספרות שלו זוגי).
 
המספר [[2 (מספר)|2]] הוא המספר הזוגי היחיד מבין [[אינסוף]] ה[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] (כל השאר הם [[מספר אי-זוגי|אי־זוגיים]]). [[השערת גולדבך]], שהיא [[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיה פתוחה]] ב[[תורת המספרים]], טוענת כי כל מספר זוגי גדול משתיים ניתן להצגה כ[[סכום]] של שני [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].