אינטגרל קווי – הבדלי גרסאות

[[תמונה:Mass line integral.JPG|שמאל|ממוזער|250px|האינטגרל של [[צפיפות החומר|צפיפות המסה]] של העקום שווה למסה הכוללת. באיור מופיעים חלקי העקום המקורבים על ידי קווים ישרים, כך שנבחרה חלוקה בה אורך כל קטע הנוהוא [[מטר|מילימטר]]. ליד כל חלק מופיע ערכה של צפיפות המסה בנקודה יציגה כלשהי בקטע זה, המייצג בקירוב את הערך בכל נקודה בקטע. לאחר סכימת ערכי הצפיפות באורך הקטע בכל קטע, מתקבלת, בקירוב, מסת העקום. כשאורך הקטע המקסימלי שואף לאפס, סכום המסות שואף למסה האמיתית.]]

סימון: <math>\ \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n)</math> – זהו וקטור המקום המציג את שיעוריה של נקודה כלשהי במרחב. הפונקציה <math>\rho (\vec{x}) \in \mathbb{R}^n </math> הנההיא [[שדה סקלרי]] במרחב בעל מספר ממדים כלשהו, ה[[תחום הגדרה|מוגדר]] ו[[פונקציה חסומה|חסום]] בתחום האינטגרציה. על פונקציה זו מתבצעת האינטגרציה. לעתים נקראת פונקציה זו "פונקציית הצפיפות" שכן עבור שימושים רבים של האינטגרל הקווי מסוג זה, היא מבטאת צפיפות של גודל [[פיזיקה|פיזיקלי]] מסוים. העקומה עליה תתבצע האינטגרציה תסומן באות C. על עקומה זו להיות [[פונקציה חלקה|חלקה]] למקוטעין, כלומר - מספר הנקודות בו נגזרת הפונקציה המתארת את המסילה איננה קיימת – נקודות בהן גרף הפונקציה "מחודד" – הוא סופי. ראו איור שלישי מלמעלה להמחשה.

משמעות היותה של C "חלקה למקוטעין" היא שבקטע <math> \ [a,b]</math> הפונקציה המתארת את העקום הנה [[רציפות|רציפה]] ו[[נגזרת|גזירה]] ברציפות בתחום האינטגרציה, למעט במספר סופי של נקודות. על הפרמטריזציה של העקומה להיות [[חד-חד ערכית]] ובעלת נורמה (בהקשר זה "גודל") שונה מאפס. במקרה זה, משמעות הפרמטריזציה היא התאמה בין ערכי הפרמטר <math>\ t</math> לבין נקודות על העקום. כלומר, לכל ערך של <math>\ t</math> בתחום האינטגרציה <math> \ [a,b]</math> מתאימה נקודה על העקום {{ללא גלישה|ולהיפך - לכל}} נקודה על העקום מתאים ערך של <math>\ t</math> בתחום <math> \ [a,b]</math>. כך, ישנה התאמה בין כל הערכים של <math>\ t</math> בתחום <math> \ [a,b]</math> לבין כל הנקודות של העקום. בשפה פשוטה, העקום מתואר בשלמותו על ידי ערכים של <math>\ t</math> בתחום <math> \ [a,b]</math>.

על העקומה <math>\ C</math> מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן. הצורה המתקבלת הנההיא קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום. בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן <math>\ \vec {\xi_i}</math>. זוהי "נקודה מייצגת". הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הנוהוא <math>\ \rho (\vec{\xi_i})</math>. זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע. קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בכל קטע נתון על ידי המכפלה <math>\ \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math> כאשר <math>\ \Delta \ell_i</math> הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען. סכימת כל המכפלות באותו הקטע, <math> \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math>, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על העקום המקורי. את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום. ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים. עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס: <math>\lim_{\max \Delta \ell_i \rightarrow 0} \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math>. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור <math>\int_{C} \rho (\vec{x}) dl</math> ונקרא "'''אינטגרל קווי מסוג ראשון'''".

אינטגרל קווי מסוג שני מתבצע על [[שדה וקטורי]]. סימון: <math>\vec F(\vec x) \in \mathbb{R}^n</math> – זוהי פונקציה במרחב בעל n [[ממד (מתמטיקה)|ממדים]] עליה מבוצעת האינטגרציה. ניתן לחשוב על פונקציה זו כעל אוסף של n פונקציות סקלריות. תחת ההנחה כי פונקציה זו רציפה, כאמור לעיל, נניח כי המסילה <math>\ C</math> הנההיא מסילה חלקה למקוטעין המוגדרת בקטע <math> \ [a,b]</math>. כיוון הסכימה חיובי מוגדר מ- <math>\ a</math> עד <math>\ b</math>.

הגם שהפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה הנההיא וקטורית, התוצאה היא סקלרית, שכן החישוב מתבצע על ידי סכימת המכפלות לעיל בכל אחד מהיטליה של הפונקציה הווקטורית, שהוא סקלר. כאמור, ניתן להציג הסכומים האינטגרליים על ידי מכפלה סקלרית, אשר תוצאתה סקלר.

בהינתן פונקציה חיובית, האינטגרל הקווי מהסוג הראשון איננו תלוי בכיוון ביצוע הסכימה כך שסכימה "מההתחלה אל הסוף" ו"מהסוף אל ההתחלה" תניב תוצאות זהות. ניתן לתת לדבר אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה שאורך או מסה של עקום אינם תלויים בכיוון מהם אנו "מרכיבים" אותם. בנוסחת החישוב המפורשת, הדבר מתבטא בכך שהסכום המופיע בה הוא של שלושה גורמים חיוביים: פונקציה חיובית, שורש ריבועי (אשר הנו חיובי לעולםבהכרח כאשר השדה מעליו עובדים הוא [[שדה המספרים הממשיים]]) והערך המוחלט של <math>\ \Delta t</math>.

לעומת כך, בהינתן אינטגרל קווי מסוג שני, החלפת סדר הסכימה תגרור החלפת סימן של האינטגרל. לכך ניתן לתת אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה כי עבודה של כוח, למשל, הנהתהיה שלילית אם הוא נע בכיוון הפוך לכיוון לכיוון המוגדר כ"חיובי". בנוסחה הדבר מתבטא בהחלפת הסימן של <math>\ \Delta t</math>.

באופן כללי, ערכו של אינטגרל קווי הנוהוא תלוי מסלול, כך שעבור מסלולים שונים יתקבלו ערכי אינטגרל שונים. אינטואיציה פיזיקלית לכך ניתנת, עבור אינטגרל מסוג ראשון, למשל, בדמות העובדה כי עבור צפיפות נתונה, גוף ארוך ישקול יותר מגוף קצר. עבור אינטגרל קווי מסוג שני ניתן לתת אינטואיציה על סמך העובדה, למשל, שעבודתו של כוח ה[[חיכוך]] הנה גדולה יותר בערכה המוחלט ככל שהמסלול הנו ארוך יותר. ייתכן מקרה מיוחד בו ערכו של אינטגרל מסוג שני לא יהיה תלוי בצורת מסלול האינטגרציה אלא בקצוות הקטע בלבד. נושא זה נדון בהרחבה בפרק [[#שדה משמר|קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר]] בהמשך ערך זה.

כיוון שאינטגרל מסילתי מסוג שני הנוהוא תלוי כיוון, ישנה חשיבות לכיוון שבו תתבצע האינטגרציה בעזרת הפרמטריזציה החדשה. פרמטריזציה אשר שומרת על כיוון האינטגרציה המקורי נקראת "פרמטריזציה שומרת כיוון". פרמטריזציה הנההיא שומרת כיוון [[אם ורק אם]] מתוארת על ידי [[פונקציה מונוטונית]] עולה. אם הפונקציה הנה מונוטונית יורדת, אזי לאחר ביצוע האינטגרציה תתקבל תוצאה הפוכת סימן. במקרים אחרים, מקובל לחלק את העקומה שעל פיה מתבצעת האינטגרציה למספר חלקים שבכל אחד מהם הפרמטריזציה מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית.