חבורת בראואר – הבדלי גרסאות

נוספו 202 בתים ,  לפני 6 שנים
אין תקציר עריכה
תגית: גרשיים שגויים
 
==מבוא והגדרה פורמלית==
 
'''[[אלגברה פשוטה מרכזית]]''' (Central simple algebra) מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math> היא [[חוג פשוט|אלגברה פשוטה]] סוף [[ממד (אלגברה)|ממדית]] ש[[מרכז (אלגברה)|מרכזה]] הוא השדה <math>\mathbb{F}</math>. '''אלגברת חילוק מרכזית''' (Central division algebra) היא אלגברה פשוטה מרכזית עם [[חוג עם חילוק|חילוק]].
 
לפי משפט של [[ג'וזףמשפט ודרברן-ארטין]], כל אלגברה פשוטה מרכזית סוף-ממדית [[איזומורפיזם|איזומורפית]] לאלגברת ל[[מטריצהחוג מטריצות|אלגברת מטריצות]] מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם. אלגברת החילוק הזו נקראת '''האלגברה הבסיסית''' (היא ב''בסיס'' האלגברה המקורית).
 
נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות <math>{R}_{1},{R}_{2}</math> הן '''שקולות בראוור''' אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית. נסמן זאת <math>{R}_{1} {\sim }_{Br} {R}_{2}</math>. בשקילות, <math>{R}_{1} {\sim }_{Br} {R}_{2}</math> כאשר קיימים <math>n_1,n_2</math> כך ש-<math>M_{n_1}({R}_{1}) \cong M_{n_2}({R}_{2}</math>. קל לבדוק שזהו אכן [[יחס שקילות]], ואת המחלקה של כל אלגברה פשוטה מרכזית <math>R</math> נסמן על ידי <math>[R]</math>. למשל, מתקיים <math>[\mathbb{F}]=\{{M}_{n}(\mathbb{F}) : n \ge 1 \}</math>.
<math>[\mathbb{F}]=\{{M}_{n}(\mathbb{F}) : n \ge 1 \}</math>.
 
'''חבורת בראוור''' היא ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הבאה:
: * האיבר ההופכי של <math>[R]</math> הוא <math>[{R}^{op}]</math>, ה[[חוג מנוגד|אלגברה המנוגדת]].
 
קל לבדוק שאוסףאוסף זה כפי שהוגדר מהווה חבורה קומוטטיבית, והיאהנקראת '''חבורת בראוור''' של השדה <math>\mathbb{F}</math>, אותה מסמנים <math>Br(\mathbb{F})</math>.
 
==דוגמאות==