טור (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]] מושג ה'''טור''' בא לציין את [[סכום|סכומה]] של [[סדרה]], שיכולה להיות סדרת מספרים, וגם סדרה של פונקציות. למשל, <math>1+2+3</math> הוא טור שסכומו 6. נהוג להבדיל בין שני סוגי טורים עיקריים: טור סופי וטור אינסופי.

טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה [[סכום|חיבור]] של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הסכום <math>\ a_1+a_2+a_3+...+a_n</math> הוא באמצעות האות היוונית [[סיגמא]], בסימון זה: <math>\ \sum_{k=1}^n a_k</math> כאשר <math>\ k</math> הוא '''אינדקס''' העובר על הערכים <math>\ 1,2,...,n</math>.

טור חשבוני הוא סכומה של [[סדרה חשבונית]]. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: <math>\ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{n(a_1+a_n)}{2}</math> (ראו בעניין זה "[[קרל פרידריך גאוס#שנים ראשונות|אנקדוטה אודות קרל פרידריך גאוס]]").

טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור בו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה המקלה על [[חישוב]] סכומם. נסתכל למשל בטור <math>\ \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{(n)\cdot (n+1)}</math>, שבו האיבר ה-<math>\,k</math> הוא <math>\ \frac{1}{k\cdot(k+1)}</math>. מכיוון ש- <math>\ \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{k+1-k}{k\cdot(k+1)}=\frac{1}{k\cdot(k+1)}</math>, סכום n האברים הראשונים הוא <math>\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)</math>.

<math>\ \frac{1}{1}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\cdots + \left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}</math>.

טור הנדסי (או טור אקספוננציאלי או גאומטרי) הוא סכום איבריה של [[סדרה הנדסית]]. למשל, הטור <math>\,1+2+4+8+16+...+2^{n-1}</math> הוא טור של איברי סדרה הנדסית המתחילה ב-1, והמנה - 2.

סכום טור של סדרה הנדסית כלשהי יהיה: <math>\ S_n=aa_1\frac{q^n-1}{q-1}</math>.{{ש}}

כאשר <math>\,q</math> היא המנהמנת הסדרה, <math>\,aa_1</math> הוא האיבר הראשון בסדרה ומספר האיברים בה הוא <math>\,n</math>. נוכיח זאת:

נשים לב כי מתקיים <math>\ (q-1)(q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1)= q^{n}-1</math> (זהו טור טלסקופי, כי מפתיחת הסוגריים מקבלים <math>\ q^n-q^{n-1}+q^{n-1}-\dots-q+q-1</math>). כעת, סכום של טור בן <math>\,n</math> איברים שאברושאיברו הראשון הוא <math>\,aa_1</math> ומנתו <math>\,q</math> נתון בדיוק על ידי <math>\ S_n=aa_1+aqa_1q+aqa_1q^2+...+aqa_1q^{n-1}</math>. לכן נקבל מהשוויון שהראינו קודם שמתקיים <math>\ (q-1)S_n=aa_1(q^n-1)</math> ומכאן <math>\ S_n=aa_1\frac{q^n-1}{q-1}</math>.

כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, נהוג לסמן אותו כך: <math>\ \sum_{k=1}^\infty a_k</math>. גם במקרה כזה ניתן להכליל את מושג הסכום באופן שניתן יהיה להגדיר את סכומם של כל איברי הטור, אך לא תמיד. נסתכל ראשית בדוגמה:

נניח כי <math>\ 1+2+4+8+...=A</math> כאשר <math>\ A</math> מספר ממשי כלשהו. כעת נכפיל את הטור כולו ב-2 ונקבל: <math>\ 2+4+8+...=2A</math> ומכאן כי <math>\ 2A=A-1</math> וקיבלנו

<math>\ A=-1</math>. מכאן שניתן להשתמש באריתמטיקה של טורים רק אם הטור מתכנס (אבל ראו "[[טור המספרים הטבעיים]]").

יהי <math>\ \sum_{k=1}^\infty a_k</math> טור. נגדיר '''סכום חלקי''' <math>\,S_n</math> בתור סכום <math>\,n</math> האיברים הראשונים של הטור, כלומר <math>\ S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>. הטור מתכנס למספר ממשי <math>\,L</math>, אם סדרת הסכומים החלקיים <math>\ \left\{S_n\right\}_{n=1}^\infty</math> [[גבול (מתמטיקה)|מתכנסת]] למספר זה. אם טור לא מתכנס, אומרים שהוא '''מתבדר'''.

*גם הטור ההרמוני, <math>\ \sum_{k=1}^\infty \frac {1}{k}</math> מתבדר (או מתכנס לאינסוף) על אף ש[[הסדרה ההרמונית]] - <math>\textstyle \frac{1}{n} </math> שואפת ל - 0. דוגמה לכך שהתנאי ההכרחי אינו מספיק להתכנסות הטור.

*טור הנדסי אינסופי מתכנס כאשר היחס הקבוע בין איבריו הוא בין אחד למינוס אחד: <math>\ |q|<1</math>. במקרה זה, סכומו הוא <math>\ \frac{a_1}{1-q}</math>. עבור יחס שגדול או שווה בערכו המוחלט ל-1 הטור מתבדר.

*כאשר בטור הנדסי היחס הקבוע בין אבריו שווה למינוס אחד, מתקבל טור "מתחלף", לדוגמה <math>\ 1-1+1-1+1-1+\dots</math> הוא טור שכזה. בניגוד לדוגמאות שהוצגו לעיל, לא ניתן לומר על טור זה אפילו שהוא מתכנס לאינסוף, כי סכומו אינו מתקרב לאינסוף אלא מתחלף ללא הרף בין 0 ובין 1.

הטור <math>\ \sum{a_n}</math> '''מתכנס בהחלט''' אם טור הערכים המוחלטים <math>\ \sum{|a_n|}</math> מתכנס (במובן הרגיל).

טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, נקרא טור '''מתכנס בתנאי'''. לטור המתכנס בתנאי יש תכונה מעניינת: לכל מספר <math>\ L</math>, אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שהטור יתכנס וסכומו יהיה <math>\ L</math>. תוצאה זו נקראת [[משפט רימן (תורת הטורים)|משפט רימן]]. לעומת זאת, בטור מתכנס בהחלט אפשר לשנות את סדר האיברים, ותמיד יתקבל אותו סכום.

למשל, לטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}=1-1+1-1+...</math>, ניתן להכניס סוגריים על כל זוג איברים, ולקבל את הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}=(1-1)+(1-1)+...=0+0+...</math>. דוגמה זו מצביעה על האפשרות שטור המתקבל מהכנסת סוגריים [[גבול (מתמטיקה)|מתכנס]] (במקרה זה ל-0) בעוד הטור המקורי מתבדר.

אומרים שהטור <math>\ \sum_{n}a_n</math> מתכנס לערך <math>\, S</math> במובן של [[נילס הנריק אבל|אבל]], אם הגבול של <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n</math> כאשר <math>\, x</math> שואף ל-1 מלמטה, שווה ל-<math>\, S</math>. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור <math>\ \sum (-1)^{n+1}n</math> כמובן אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע.

שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב- <math>\ s_nS_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה <math>\ s_n</math> מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה

<math>\ s_nS_n^{(1)}=\frac{s_1+\cdots+s_n}{n}</math> מתכנסת. למשל, הטור <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}</math> אינו מתכנס במובן הרגיל, אבל סכומו במובן צ'זרו הוא חצי. אם טור אינו מתכנס במובן C-1 אבל הממוצעים של <math>\ s_nS_n^{(1)}</math> כן מתכנסים, אז הטור הוא מטיפוס C-2, וכן הלאה.

אם הטור <math>\ \sum_{n}a_n</math> מתכנס לערך <math>\, S</math> במובן של [[נילס הנריק אבל|אבל]], וכן

<math>\ na_n</math> שואף לאפס, אז הטור מתכנס גם במובן רגיל.

אם הטור <math>\ \sum_{n}a_n</math> מתכנס לערך <math>\, S</math> במובן של צ'זרו, וכן

<math>\ na_n\geq -C</math> אז הטור מתכנס גם במובן רגיל. זהו משפט לנדאו.

ישנו משפט של הארדי, החלש יותר ממשפט לנדאו, שקובע כי אם הטור מתכנס צ'זרו, ורק <math>\ |na_n| \leq C</math> , אז הטור מתכנס.

ראשית נביט בטור ההנדסי <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> שמתכנס עבור <math>\!\, x\isin(-1,1)</math>. ידוע כי סכום טור זה הוא <math>\frac {1}{1-x}</math>. נציב <math>\!\, x=-y</math> ונקבל: <math>\sum_{k=0}^\infty (-y)^k=\frac{1}{1+y}</math>. מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל:

קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה <math>\!\, y=1</math> (למשל, בעזרת [[מבחני התכנסות לטורים#מבחן לייבניץ|מבחן לייבניץ]]), ולכן נציב <math>\!\, y=1</math> ונקבל: <math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{k+1}=\ln(2)</math>. והרי <math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{1}{k}</math>, ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת: <math>\sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1}\frac {1}{k}=\ln(2)</math>.

לעתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט [[טור טיילור]] של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של <math>\ \ln(1+x)</math> על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל-<math>\ \ln(2)</math>.

טור פורייה של <math>\ x</math> בקטע <math>\ [-\pi,\pi]</math> הוא

<math>\ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{\left|(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \right| ^2} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}{x^2 dx} = 2 \frac{\pi^2}{6} </math>

ולכן הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה <math>\ s=2</math> (הנקרא גם טור [[לאונרד אוילר|אוילר]], על שם המתמטיקאי ש[[בעיית בזל|חישב אותו לראשונה]]) הוא

<math>\ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} = \frac{\pi ^2}{6}. </math>

<math>\ \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n - a_{n-1})} = \lim_{n \to \infty}{(a_n - a_0)} </math>

<math>\ \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{ n(n+1) } } = \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} } = \lim_{n \to \infty}{ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) } = 1. </math>

* אם קיימים קבועים C ו- <math>\ p>1</math> כך ש- <math>\ |f(z)|<\frac{C}{|z|^p}</math> כאשר <math>\ |z|</math> גדול מספיק, והטור <math>\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)</math> מתכנס, אז סכומו שווה לסכום השאריות של <math>\ -\pi f(z)\cot(\pi z)</math> בכל ה[[קוטב (פונקציות מרוכבות)|קטבים]] של <math>f</math>.