שדה סופי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←דוגמה: ניסוח |
תוספת + {{נ}} |
||
שורה 10:
*ה[[חבורה]] הכפלית של השדה (כל אברי השדה פרט ל-0 עם פעולת הכפל) היא [[חבורה ציקלית]].
*[[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של כל שדה סופי <math>\ \mathbb{F}_{p^n}</math> מעל <math>\ \mathbb{F}_p</math> היא חבורה ציקלית ונוצרת על ידי [[אוטומורפיזם פרובניוס]].
===הוכחת התכונות הראשונות===
כדי להראות שהגודל של <math>\mathbb{F}</math> הוא חזקה של מספר ראשוני, נשים לב שהמאפיין שלו לא יכול להיות 0, כי שדות בעלי מאפיין 0 מכילים עותק של [[שדה המספרים הרציונליים]], ולכן הם בהכרח אינסופיים. בנוסף, באופן כללי אם המאפיין של השדה שונה מ-0, אז הוא מספר ראשוני, p, והשדה יכיל בתוכו עותק של השדה <math>\mathbb{Z}_p</math> - שדה השאריות [[חשבון מודולרי|מודולו]] p. נשים לב שהשדה המקורי <math>\mathbb{F}</math> הוא גם [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\mathbb{Z}_p</math> עם החיבור והכפל הרגילים, וכאשר הסקלרים הם איברי העותק של <math>\mathbb{Z}_p</math>. נסמן את ה[[ממד (אלגברה)|ממד]] של השדה מעל <math>\mathbb{Z}_p</math> ב-n. המספר n חייב להיות סופי, כי אחרת היו בשדה מספר אינסופי של איברים בלתי תלויים לינארית ובפרט- מספר אינסופי של איברים, ולכן הגודל של <math>\mathbb{F}</math> הוא בדיוק <math>p^n</math>.
נבנה שדה מגודל <math>p^n</math>, על ידי פיצול פולינום. נסמן את [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של הפולינום <math>\ f(x) = x^{p^n} - x</math> מעל השדה <math>\mathbb{Z}_p</math> ב- E. שדה זה הוא השדה המינימלי שבו הפולינום <math>\ f(x)</math> מתפצל למכפלה של גורמים לינאריים- <math>\ f(x) = (x-a_1 ) \cdot (x-a_2 ) \cdots (x- a_{p^n} )</math>. ניתן להראות על ידי שימוש בתכונות של הנגזרת הפורמלית, שלפולינום הזה אין שורשים כפולים, ולכן הקבוצה <math>\ A = \left\{ a_1 , a_2 , . . . a_{p^n} \right\}</math> היא קבוצה בת <math>p^n</math> איברים בדיוק.
נראה שקבוצה זו היא כבר שדה; קודם כל ברור שהאיברים 0 ו-1 נמצאים ב-A כי <math>\ 0^{p^n} = 0 , 1^{p^n} =1 , (-1)^{p^n} = -1</math> (השיוויון לגבי 1- נובע מהפרדה לשני מקרים - אם p=2 אז במילא 1 =1- , ואחרת החזקה היא איזוגית, ולכן מתקיים השיוויון). בנוסף אם <math>x , y \in A</math> כלומר <math>\ x^{p^n} = x \ \ , \ \ y^{p^n} = y</math> אז גם <math>\ (xy) ^{p^n} = x^{p^n} \cdot y^{p^n} = xy</math>, <math>\ (x ^{-1} ) ^{p^n} = (x^{p^n}) ^{-1} = x^{-1}</math> כלומר הקבוצה סגורה תחת פעולת הכפל וההפכי. בנוסף הוא סגור גם תחת חיבור כי לפי [[הבינום של ניוטון]] (פעולת הכפל היא [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]]) מתקבל השיוויון
:<math>\ (x+y)^{p^n} = \sum_{k=0}^{p^n} { {p^n} \choose{k} } x^{ p^n - k} \cdot y ^k</math>
כיוון שמקדמי הבינום <math>{p^n} \choose{k}</math> מתחלקים ב-p עבור כל k חוץ מ- k=0 ו- k=p<sup>n</sup>, למעשה כל איברי הסכום מתאפסים, חוץ מהראשון והאחרון, כלומר <math>\ (x+y)^{p^n} = x^{p^n} + y^{p^n} = x + y</math>, כלומר גם <math>x+y \in A</math>. ובכך הראנו שהקבוצה A סגורה תחת חיבור, חיסור כפל וחילוק, והיא תת קבוצה של שדה- ולכן היא שדה בפני עצמה. שדה זה הוא בן <math>p^n</math> איברים בדיוק, כמו שרצינו. כיוון ששדה הפיצול הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם, ושכל שדה בן p^n איברים הוא בדיוק שדה הפיצול של הפולינום <math>\ x^{p^n} - x</math> - קיים רק שדה אחד בן <math>p^n</math> איברים עד כדי איזומורפיזם.
==דוגמה==
שורה 17 ⟵ 25:
[[קטגוריה:אלגברה]]
{{נ}}
[[en:Finite field]]
[[de:Endlicher Körper]]
| |||