תבנית ביליניארית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אי דיוק מסוים בנוגע למקרה פרטי של תכנית בילינארית: המכפלה הפנימית. היה רשום שכל מכפלה פנימית היא תבנית בילינארית, וזה לא נכון. תיקנתי זאת.
אין תקציר עריכה
שורה 5:
==מבוא==
יהיו F [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ו-V מרחב וקטורי מעל F. הפונקציה <math>\ B : V \times V \rightarrow F</math> היא בילינארית אם לכל <math>\ v \in V</math> הפונקציות <math>\ w \mapsto B(v,w)</math> ו-<math>\ w \mapsto B(w,v)</math> הן פונקציונלים לינאריים <math>\ V \rightarrow F</math>, כלומר שומרות על החיבור ועל הכפל בסקלר.
 
הדוגמה החשובה ביותר לתבנית בילינארית היא [[מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים הממשיים]] (מכפלה פנימית מעל שדה [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]] היא [[תבנית הרמיטית]]).
 
אפשר להכליל את ההגדרה גם לפונקציות <math>\ B : V \times W \rightarrow F</math> (כאשר V,W מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה), אם כי בדרך כלל המרחבים V,W שווים או [[מרחב דואלי|דואליים]] זה לזה. המונח [[אופרטור בילינארי]] מכסה העתקות ממכפלה של שני מרחבים וקטוריים למרחב שלישי, עם ההכללה הטבעית ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]].
שורה 12 ⟵ 14:
אם <math>\ S = \{b_1,\dots,b_n\}</math> הוא [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] של המרחב V מעל F, אז '''המטריצה המייצגת''' של התבנית הבילינארית <math>\ B : V \times V \rightarrow F</math> היא המטריצה <math>\ [B]_S = (B(b_i,b_j)) \in M_{n}(F)</math>. המעבר לבסיס אחר מחליף את המטריצה המייצגת במטריצה מהצורה <math>\ P[B]_SP^{tr}</math>, כאשר P [[מטריצה הפיכה]]. כל תבנית אפשר לייצג על ידי מטריצה. משום כך, הצורה הכללית ביותר של תבנית בילינארית מעל המרחב הווקטורי <math>\ F^n</math> היא <math>\ B(\vec{x},\vec{y}) = \sum_{i,j} a_{ij}x_iy_j</math>, כאשר <math>\ a_{ij}</math> קבועים. תבנית זו אפשר לכתוב גם כך: <math>\ B(u,v) = u^T M v</math>.
 
[[מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים הממשיים]] היא סוג מיוחד של תבנית בילינארית (לעומתאו זאת, במקרה המרוכב, מכפלה פנימית מעל שדהכל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכביםסדור]] איננה תבנית בילינארית), כי היא איננה הומוגנית במשתנה השני). המטריצה הריבועית M מגדירה [[מכפלה פנימית]] אם ורק אם היא [[מטריצה חיובית לחלוטין|חיובית לחלוטין]].
 
== מרחב התבניות ==