מספר משוכלל – הבדלי גרסאות

הראשון מחכמי ישראל שמזכיר מספרים משוכללים, הוא הפילוסוף היהודי [[פילון האלכסנדרוני]] שכתב ביוונית. לדעתו הם ביטוי לשלמות, משום כך נברא העולם בששה ימים. גם רבי [[אברהם בן עזרא]] הזכיר מספרים אלה בפירושו לתורה ([[שמות]] ג' ט"ו), הוא מכנה אותם "מספרים שווים".

 

 

נתון שהמספר <math>\left(2^n-1\right)</math> ראשוני, שנסמן מעתה באות <math>\,p</math>. עלינו להוכיח שהמספר <math>(2^{n-1})\cdot p</math> הוא מספר משוכלל.

2000 שנה בערך אחרי אוקלידס עשה המתמטיקאי [[לאונרד אוילר]] צעד משמעותי, כאשר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח מן הצורה המתוארת לעיל.

'''הוכחה''':

 

מכיוון ש[[פונקציה אריתמטית|פונקציית סכום המחלקים]] <math>\ \sigma</math> היא [[פונקציה כפלית]] (על [[מספרים זרים]]), מתקיים

</math>, ומכאן ש-<math>\ 2^k-1</math> מחלק את <math>\,2^km</math>; אבל <math>\ 2^k-1</math> ו-<math>\ \,2^k</math> זרים, ולכן <math>\ 2^k-1</math> מחלק את <math>\,m</math>, נאמר: <math>\,m= (2^k-1)M</math>.

אם נציב הצגה זו של <math>\,m</math> במשוואה האחרונה ונצמצם, נקבל: <math>\ \sigma(m)=2^kM</math>.

בין המחלקים של m אפשר למנות לפחות את <math>\ M</math> ואת <math>\ m</math> עצמו (השונים זה מזה), ולכן <math>\ 2^kM=\sigma(m)\geq m+M=2^kM</math>. מכאן שאי-השוויון החלש הוא למעשה שוויון, ולכן <math>\ m</math> ו-<math>\ M</math> הם המחלקים היחידים של <math>\ m</math>; אבל 1 מחלק את <math>\ m</math>, ולכן <math>\ M=1</math>. הוכחנו כי <math>\ m=2^k-1</math>, והוא ראשוני.

 

{{מיזמים|ויקימילון=מספר משלם}}

* [http://kaye7.school.org.il/number_types.htm#%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D מספרים משוכללים/טיפוסי מספרים בתורת המספרים באתר של המרכז לתכנון לימודים במכללת קיי, באר-שבע]

 

{{הערות שוליים}}

 

[[קטגוריה:פונקציית המחלקים|משוכלל]]

[[קטגוריה:בעיות פתוחות במתמטיקה]]