דיפאומורפיזם – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ תוספת קטנה |
||
שורה 1:
ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], '''דיפאומורפיזם''' הוא אמצעי לזהות שני מבנים דיפרנציאליים כזהים עד כדי שם. זהו [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]] של מבנים עם שימור אינווריאנטים דיפרנציאליים.
בדומה ל[[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]] ול[[הומאומורפיזם]] הזיהוי נעשה באמצעות [[פונקציה]] [[חד חד ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] מ[[יריעה חלקה]] M ליריעה חלקה N. נאמר שפונקציה כזו היא '''דיפאומורפיזם''' אם היא [[יריעה חלקה#פונקציות חלקות על יריעות|חלקה]], והפונקציה ההפוכה לה גם כן חלקה. הגדרה זו דומה להגדרת ה[[הומאומורפיזם]] ששם פונקציה בין מרחבים טופולוגיים היא הומאומורפיזם אם היא רציפה, וגם הפונקציה ההפוכה לה רציפה.<br>
בצורה דומה למושגים הקשורים, נאמר ששתי יריעות הן '''דיפאומורפיות''' אם קיימת פונקציה שהיא דיפאומורפיזם ביניהן. יחס זה מהווה [[יחס שקילות]] על מחלקת כל היריעות הדיפרנציאליות.<br>
לדוגמה הקטע (0,1) והקרן <math>\ (1, \infty )</math> דיפאומורפיות על ידי הדיפאומורפיזם <math>\ x \rightarrow \frac{1}{x}</math>.
לעומת זאת הפונקציה <math>\ f(x)=x^3</math> איננה דיפאומורפיזם בין [[הישר הממשי]] לעצמו, כיוון שהפונקציה ההפוכה, <math>\sqrt[3]{x}</math> איננה גזירה בנקודה x=0. לעומת זאת, פונקציה זו היא הומאומורפיזם בין הישר הממשי לעצמו.
פונקציה F נקראת '''דיפאומורפיזם מקומי''' בסביבה של נקודה p, אם קיימת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] פתוחה <math>\ p \in U</math>, כך ש- F היא דיפאומורפיזם בין U ו- (F(U. לפי [[משפט הפונקציות
כל דיפאומורפיזם הוא גם הומאומורפיזם (כאשר מסתכלים על היריעות כמרחבים טופולוגיים), כי כל פונקציה חלקה היא בפרט רציפה, אבל לא להיפך. קיימות יריעות חלקות שהומאומורפיות זו לזו אך לא דיפאומורפיות. מאבחנה זו נובע, לדוגמה, שאם שתי יריעות הן דיפאומורפיות אז הן בעלות אותו ממד.
{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[קטגוריה:
[[en:Diffeomorphism]]
| |||