חוג דדקינד – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 30:
חוגי דדקינד הם "כמעט ראשיים" בכמה מובנים. למשל, כל אידאל של חוג דדקינד נוצר על ידי שני אברים לכל היותר. יתרה מזו: אם <math>\ 0 \ne J \subset I \subset R </math> אידאלים בחוג דדקינד, אז קיים <math>\ a\in R</math> כך ש-<math>\ I=J+Ra</math>. לכל אידאל I בחוג דדקינד, קיים אידאל J כך שהמכפלה IJ היא אידאל ראשי. (יותר מזה, ניתן לבחור <math>\ J</math> להיות זר לכל אידאל <math>\ A</math>; או כך ש-<math>\ Ra = IJ</math> לכל עבור <math>\ a</math> איבר ב-<math>\ I</math>). חוג דדקינד בעל מספר סופי של אידאלים ראשוניים הוא ראשי. אם חבורת המחלקות (ראו להלן) סופית, אפשר להפוך את החוג לראשי באמצעות היפוך של איבר אחד.
=== תחומים שהם כמעט דדקינד ===
תחום שלמות עם יחידה R הוא '''כמעט דדקינד''' אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים{{מקור|1=
R, Gilmer, Integral domains which are almost Dedekind. Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 813-818,
[http://www.ams.org/journals/proc/1964-015-05/S0002-9939-1964-0166212-8/S0002-9939-1964-0166212-8.pdf]
}}
* לכל אידיאל מקסימלי M, המיקום <math>\ R_M</math> הוא חוג הערכה דיסקרטית.
* אם לאידיאל יש רדיקל ראשוני, אז הוא חזקה של ראשוני.
* ממד קרול שווה ל-1, וכל אידיאל פרימרי הוא חזקה של ראשוני.
* יש צמצום באידיאלים (אם AB=AC אז A=0 או B=C).
אם תחום שלמות הוא כמעט דדקינד, כדי להיות דדקינד די לו בכך שכל אידיאל שונה מאפס מוכל במספר סופי של אידיאלים מקסימליים.
== חבורת מחלקות האידאלים ==
| |||