סדרה מתכנסת – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מספיק בנתיים
שכתוב
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
 
'''סדרה מתכנסת''' היא [[סדרה]] שאיבריהשיש לה [[גבול של סדרה|גבול]], כלומר, איבריה הולכים ומתקרביםושואפים למספר נתון כלשהו. כלומר, סדרההסדרה <math>\! \{a_1, a_na_2,\dots\}</math> מתכנסת למספר L אם קייםלכל ערך חיובי <math>\ \epsilon</math> יש מספר טבעי N שממנו והלאה מתקיים <math>\ |a_n - L| כך< ש:\epsilon</math>. סדרה שאינה מתכנסת נקראת '''סדרה מתבדרת'''.
<math>\lim_{n \to \infty}a_n=L</math>. המספר L שאליו מתכנסים אברי הסדרה הוא [[גבול של סדרה|הגבול של הסדרה]]. בהתאם לכך, סדרה מתכנסת היא גם סדרה חסומה.
 
סדרה ממשית אינה יכולה להתכנס ליותר מגבול אחד. את ההתכנסות של סדרה ממשית אפשר לאבחן גם ללא התייחסות ישירה לגבול: סדרה ממשית היא מתכנסת אם ורק אם היא [[סדרת קושי]]. שתי התכונות האלה (יחידות הגבול והעובדה שכל סדרת קושי מתכנסת) מלמדות הרבה על [[שדה המספרים הממשיים|מרחב המספרים הממשיים]]: את מושג הסדרה המתכנסת אפשר להגדיר לא רק עבור מספרים ממשיים, אלא בכל [[מרחב מטרי]], ואפילו בכל [[מרחב טופולוגי]]. סדרה מתכנסת היא סדרת קושי בכל מרחב מטרי, אבל ההיפך לא תמיד נכון; מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא [[מרחב מטרי שלם]]. הגבול של סדרה מתכנסת במרחב מטרי הוא תמיד יחיד, אבל תכונה זו אינה נכונה בכל מרחב טופולוגי. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד הוא [[מרחב האוסדורף]].
סדרה שאין לה גבול היא סדרה שאינה מתכנסת והיא נקראת '''סדרה מתבדרת'''. כלומר, להבדיל מסדרה מתכנסת, עבור סדרה מתבדרת לא קיים מספר L שאליו מתקרבים אברי הסדרה.
 
==יחידות הגבול==
אם סדרה מתכנסת גם למספר <math>L</math> וגם למספר <math>K</math>, אז בהכרח <math>L = K</math>. מכאן שסדרה אינה יכולה להתכנס ליותר מגבול אחד.
 
==סדרת קושי==
{{ערך מורחב|סדרת קושי}}
 
כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. ב[[אנליזה מתמטית]], סדרת קושי היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים: לכל מרחק חיובי <math>\varepsilon</math>, יש מקום בסדרה שממנו והלאה המרחק בין כל שני אברים קטן מ-<math>\varepsilon</math>. סדרות אלה קרויות על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הצרפתי [[אוגוסטין לואי קושי]].
 
==קישורים חיצוניים==