|
'''חזקה של שתיים''' הוא [[מספר טבעי]] מהצורה <math>2^n</math>. כלומר מספר המתקבל מ[[חזקה (מתמטיקה)|הכפלת 2]] בעצמו n פעמים.
[[קובץ:Ten_octaves_visualization.png|ממוזער|המחשה של העלאת מספר בחזקת שתיים מ-1 ועד 1024 (2<sup>0</sup> עד 2<sup>10</sup>).]]
במתמטיקה, '''חזקה של שתיים''' היא מספר מהצורה 2<sup>n</sup>. כאשר ''n'' הוא מספר שלם, התוצאה של העלאת מספר ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] כאשר המספר [[2 (מספר)|2]] הוא הבסיס והשלם ''n'' הוא מעריך החזקה.
את החזקות של שתיים ניתן לחשב באופן [[הגדרה רקורסיבית|רקורסיבי]], כאשר המספר הראשון הוא <math>2^0=1</math> והחזקה הבאה מתקבלת מחיבור החזקה הקודמת לעצמה.
בהקשרים בהם רק מספרים שלמים נחשבים, ''n'' מוגבל למספרים אי-שליליים, ואז ניתן להגיד שכל חזקת שתיים היא כפולה של 2 בעצמו מספר פעמים (בפרט, 1 ו-2 נחשבים לחזקות שתיים). לפי [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]], מספר הוא חזקת שתיים [[אם ורק אם]] אין לו אף גורם ראשוני אי-זוגי.
לפי [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]], מספר הוא חזקת שתיים [[אם ורק אם]] אין לו אף גורם [[מספר ראשוני|ראשוני]] [[מספר אי-זוגי|אי-זוגי]].
כיוון ששתיים הוא מספר ה[[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] של [[בסיס בינארי|מערכת הספירה הבינארית]], חזקות של שתיים הם דבר נפוץ ב[[מדעי המחשב]]. כאשר חזקה של שתיים תכתב בבינארית, היא תמיד תהיה בצורה {{משמאל לימין|100…000}} או {{משמאל לימין|0.00…001}}, בדיוק כמו חזקה של עשר ב[[עשרוני|מערכת העשרונית]]. ▼
▲כיווןמכיוון ששתיים2 הוא מספר ה[[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] של [[בסיס בינארי|מערכת הספירה הבינארית]], חזקות של שתיים הם דבר נפוץנפוצות ב[[מדעי המחשב]]. כאשר בכתיב בינארי חזקה של שתיים תכתב בבינארית, היא תמיד תהיה בצורהמהצורה {{משמאל לימין|100…000 }} או {{משמאל לימין|0.00…001}}, בדיוק כמו חזקה של עשר ב[[עשרוני|מערכת העשרונית]].
== מספרי מרסן ==
ה[[סדרה הנדסית|סדרה ההנדסית]] 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (או, [[בסיס בינארי|במערכת הספירה הבינארית]], 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … ) חשובה ב[[תורת המספרים]]. [[מספר ראשוני]] שהוא אחד פחות מחזקה של שתיים נקרא [[ראשוני מרסן]]. לדוגמה, המספר הראשוני [[31 (מספר)|31]] הוא ראשוני מרסן מכיוון שהוא אחד פחות מ-32 (2<sup>5</sup>). בספר התשיעי של "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", טענה מספר 36 מוכיחה שאם סכום של ''n'' האיברים הראשונים בסדרה זו הוא מספר ראשוני (משמע, ראשוני מרסן), אז סכום זה כפול האיבר ה-''n'' הוא [[מספר מושלם]]. לדוגמה, הסכום של חמשת האיברים הראשונים בסדרה 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, שהוא מספר ראשוני. אם נכפיל את 31 ב-16 (האיבר ה-5 בסדרה) נקבל 496, שהוא מספר מושלם.</div>
== סדרת החזקות של שתיים ==
ה[[סדרה הנדסית|סדרה ההנדסית]] 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (או, [[בסיס בינארי|במערכת הספירה הבינארית]], 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … ) שאיבריה הם החזקות של 2 חשובה ב[[תורת המספרים]]. סכום n האיברים הראשונים בסדרה שווה ל-<math>1+2+\ldots+2^{n-1} = 2^n-1</math> נקרא [[מספר מרסן]]. מספרים אלו, בעיקר אלו מהם שהם [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]], נחקרו עוד מ[[העת העתיקה]] והם קשורים ל[[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]].
מספר ראשוני שהוא אחד יותר מחזקה של שתיים (למשל 257) נקרא [[ראשוני פרמה]]. ראשוני כזה הוא בהכרח מהצורה <math>2^{2^n}+1</math>.
|
