משפט דה מואבר – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תקלדה
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
'''משפט דה-מואבר''', שקרוי על שמו של [[אברהם דה-מואבר]] (Abraham de Moivre), קובע שלכל [[מספר ממשי]] ''x'' ולכל [[מספר שלם]] ''n'' מתקיים

<math>\ ([\cos (x)+i\sin (x)]^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math>,

כאשר i היא ה[[מספר מרוכב|יחידה המרוכבת]].
 
 
הנוסחה חשובה משום שהיא מקשרת בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה.
 
את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח, ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]], מן הזהות <math>\ ([\cos(x)+i \sin(x))(][\cos(y)+i \sin(y))] = \cos(x+y) + i \sin(x+y)</math>, השקולה ל[[זהות טריגונומטרית|זהויות הטריגונומטריות]] <math>\ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)</math> ו- <math>\ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)</math>.
 
לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת ה[[פונקציות טריגונומטריות|גדלים הטריגונומטריים]] <math>\ \cos(nx)</math> ו- <math>\ \sin(nx)</math> כ[[פולינום|פולינומים]] ב- <math>\ \cos(x)</math> ו- <math>\ \sin(x)</math>, בהתאמה. כך למשל, <math>\ \cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x)</math> - ראו [[פולינומי צ'בישב]].
 
אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של [[אייזק ניוטון]], בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מ[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, נוסחת דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי <math>(e^{ix})^n = e^{i(nx)}</math>.