בעיית בזל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1ניסיו\2\3 |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 33:
פתרונו של אוילר אינו [[ריגורוזיות|ריגורוזי]] לחלוטין בסטנדרט המתמטי המודרני. זאת משום שלא הצדיק את ההנחה שניתן להביע את <math>\,\sin x / x</math> כמכפלת גורמים לינאריים המאפסים את האפסים. ביטוי זה מוצדק בדיעבד על ידי [[משפט הפירוק של ויירשטראס]].
== קשר למכפלת וואליס ==
[[ג'ון ואליס]] גילה ב-1665 את נוסחת המכפלה שלו ל[[פאי]]:
<math>
\prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
</math>.
וואליס גזר את המכפלה האינסופית הזאת בצורה שנעשית בטקסטים של חשבון אינפינטיסימלי כיום - באמצעות השוואת <math>\scriptstyle \int_0^\pi \sin^nx dx</math> בעבור ערכים זוגיים ואי זוגיים של n. בדיעבד, כפי שאוילר הבחין, נוסחת המכפלה של וואליס היא מסקנה פשוטה מן השיטות שלו לפתרון בעיית בזל. נראה זאת:
:<math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)</math>
נציב <math>x = \frac {\pi}{2}</math> ונקבל:
:<math>\begin{align}
\Rightarrow\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right) \\
\Rightarrow\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\
&= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots
\end{align}
</math>
== פתרון באמצעות אנליזה הרמונית ==
| |||