בעיית בזל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 84:
: <math>\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{n^2} } = \frac{\pi^2}{6}</math>
כמבוקש.
== ההוכחה של קאלאבי ==
ב-[[1993]] מצא [[אוגניו קאלאבי|קאלאבי]] {{אנ|Eugenio Calabi}} הוכחה קצרצרה למשפט של אוילר [http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/scanned/ValuesofZetaFunsAndApplications/fulltext.pdf], שאפשר להכליל לחישוב ערכים נוספים של פונקציית זטא. ההוכחה משתמשת בהחלפת משתנים דו-ממדית, כלדקמן.
נסמן ב-S את ריבוע היחידה <math>\ [0,1] \times [0,1]</math> וב-T את המשולש <math>\ \{u,v \mid 0 < u,v,\, u+v < \pi/2\}</math>.
הפונקציה <math>\ h(u,v) = (\frac{\sin u}{\cos v},\frac{\sin v}{\cos u}) = (x,y)</math> מעתיקה את T על S באופן חד-חד-ערכי, והיעקוביאן שלה הוא <math>1-x^2y^2</math>. לכן
<math>\frac{\pi^2}{8} = \iint_T du\,dv = \iint_S(1-x^2y^2)^{-1} dx\,dy = \iint_S \sum_{n=0}^{\infty}(xy)^{2n} dx\,dy= \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1x^{2n}dx\int_0^1y^{2n}dy= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2} = (1-\frac{1}{4})\zeta(2)</math>.
==ראו גם==
| |||