הבדלים בין גרסאות בדף "שדה המספרים המרוכבים"

מ
אין תקציר עריכה
מ (הורדת שימוש בתג br*)
מ
== בנייה פורמלית ==
 
את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ \mathbb{R}^2</math> של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], עם פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] המוגדרות לפי <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math> ו- <math>\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)</math>. המבנה המתקבל הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ש[[איבר נייטרלייחידה|איבר האפס]] שלו הוא <math>\ (0,0)</math>, ואיבר היחידה הוא <math>\ (1,0)</math>. לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\left( \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2} \right)</math>.{{ש}}
הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1</math>, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון [[זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף).
לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1</math>, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון [[זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף).
 
== תכונות בסיסיות של השדה המרוכב ==
ההצגה של מספר מרוכב בצורה <math>\ z = x+iy</math>, הנקראת '''ההצגה הקרטזית''', מאפשרת לחשב בקלות את המכפלה באופן מפורש, בעזרת העובדה היסודית <math>\ i^2=-1</math>: <math>\ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2)=a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 + i^2 b_1b_2=a_1a_2 - b_1b_2 + i(a_1b_2+b_1a_2) </math>.
 
ה[[נורמה (מתמטיקה)|נורמה הסטנדרטית]] של שדה המספרים הממשיים, המוגדרת לפי <math>\ \left | (a,b) \right | = \sqrt{a^2+b^2}</math>, מגדירה גם את ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של מספר מרוכב, לפי אותה נוסחה בדיוק: <math>\ |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}</math>. פונקציה זו, המהווה [[מטריקה|מטריקה ארכימדית]] על השדה, הופכת אותו ל[[מרחב נורמי]] [[מרחב מטרי שלם|שלם]] מעל שדה המספרים הממשיים.
 
[[קובץ:Complex conjugate picture.svg|שמאל|ממוזער|200px|הצגת הצמוד המרוכב <math>\ \overline z </math> של <math>\ z</math> ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]].]]
על המספרים המרוכבים מוגדר הצמוד המרוכב, <math>\ \overline{x+iyyi} = x-iyyi</math>, שהוא [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]]: <math>,\ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2}</math>, {{כ}}<math>,\ \overline{z_1z_2z_1 \cdot z_2} = \overline{z_2z_1} \,cdot \overline{z_1z_2}\ </math>, ו- <math>.\ \overline{\overline{z}} = z</math>. פעולת ההצמדה היא [[אוטומורפיזם]] מסדר 2 של [[הרחבת שדות|ההרחבה]] <math>\ \mathbb{C}/\mathbb{R}</math>, היוצר את [[חבורת גלואה]] של ההרחבה הזו. תכונות האינוולוציה, ובפרט [[אי-שוויון המשולש]] <math>\ \left| z+w \right| \le \left| z\right|+\left|w \right|</math>, הופכות את המרוכבים ל[[אלגברה סי כוכב|אלגברה כוכב]] (*-אלגברה).
 
פעולת ההצמדה היא [[אוטומורפיזם]] מסדר 2 של [[הרחבת שדות|ההרחבה]] <math>\ \mathbb{C}/\mathbb{R}</math>, היוצר את [[חבורת גלואה]] של ההרחבה הזו. תכונות האינוולוציה, ובפרט [[אי-שוויון המשולש]] <math>\ \left| z+w \right| \le \left| z\right|+\left|w \right|</math>, הופכות את המרוכבים ל[[אלגברת סי כוכב|אלגברה כוכב]] (*-אלגברה).
הנורמה המרוכבת היא ה[[שורש ריבועי]] של ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה האלגברית]], המוגדרת לפי <math>\ N(z) = z\bar{z}</math>, כלומר <math>\ N(x+iy) = (x+iy)(x-iy) = x^2+y^2</math>. הנורמה כפלית (<math>\ |z_1z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>), ושומרת על הצמוד: <math>\ |\bar{z}|=|z|</math>.
 
הנורמה המרוכבת היא ה[[שורש ריבועי]] של ה[[נורמה (אלגברה)|נורמההנורמה האלגברית]], המוגדרת לפי <math>\ N(z) = z \cdot \bar{z}</math>, כלומר <math>\ N(x+iyyi) = (x+iyyi)(x-iyyi) = x^2+y^2</math>. הנורמה כפלית (<math>\ |z_1z_2z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|</math>), ושומרת על הצמוד: <math>\ |\bar{z}|=|z|</math>.
העובדה שהנורמה (של מספר שונה מאפס) תמיד חיובית מאפשרת לחלק בקלות מספרים מרוכבים: <math>\ \frac{w}{z}=\frac{w \cdot \bar{z}}{z\cdot \bar{z}}=\frac{ w \bar{z}}{|z|^2} </math>, ובמכנה של ה[[שבר (מתמטיקה)|שבר ]] הזה יש מספר ממשי. מכאן אפשר לקבל גם את הנוסחה המפורשת, <math>\ \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2}</math>.
 
העובדה שהנורמה (של מספר שונה מאפס) תמיד חיובית מאפשרת לחלק בקלות מספרים מרוכבים: <math>\ \frac{w}{z}=\frac{w \cdot \bar{z}}{z\cdot \bar{z}}=\frac{ w \cdot \bar{z}}{|z|^2} </math>, ובמכנה של ה[[שבר (מתמטיקה)|שבר ]] הזה יש מספר ממשי. מכאן אפשר לקבל גם את הנוסחה המפורשת, <math>\ \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2}</math>.
 
==הצגה קוטבית והמישור המרוכב==
אפשר להתאים את המספר המרוכב <math>\ x+yi</math> לקואורדינטה הקרטזית <math>\ (x,y)</math> במישור <math>\ \mathbb{R}^2</math>. את המישור אפשר לתאר גם באמצעות [[קואורדינטות פולריות]], הכוללות, עבור כל נקודה, את ה[[מרחק]] שלה מראשית הצירים ואת ה[[זווית]] בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה-<math>\ x</math>. הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ [[משפט פיתגורס]]), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית ה[[טנגנס]]: <math>\ \tan(\theta) = \frac{y}{x}</math> עבור מספרים שמרוכבים שנמצאים ברביע הראשון או הרביעי (כלומר re<math>\ \mathrm{Re}(z) >0 0</math>), ואילו עבור מספרים שנמצאים ברביע השני או השלישי (<math>\ re\mathrm{Re}(z) <0 0</math>) הזווית תהיה <math>\pi - \arctan\left(\frac{y/}{x}\right)</math> (שכן לפונקציית tan יש מחזור <math>\pi</math>).
 
עבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה חיובי הארגומנט יהיה <math>\pi:2</math> ועבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה שלילי הארגומנט יהיה <math>-(\pi:2)</math>.
על כן, '''ההצגה הפולרית''' של מספר מרוכב z, היא <math>\ z=r\cos\theta + i r\sin\theta</math>, כאשר r הוא המרחק מהראשית, ו-<math>\ \theta</math> הזווית ש-z יוצר עם ציר ה-x.
 
בדרך -כלל משתמשים בקיצור <math>\ \operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta</math>. קיצור מקובל נוסף הוא
: <math>\ e^{i\theta}=\operatorname{cis}\theta = \cos \theta + i \sin \theta</math>,
שנובע מתכונות פונקציית ה[[אקספוננט]] עבור ערכים מרוכבים.
519

עריכות