משתמש:איש הסילונים/הוכחות מתמטיות שגיליתי בס"ד בעצמי – הבדלי גרסאות

לאמר: לא קיימים מספרים טבעיים <math>a,b,m,n</math> טבעיים כך שיתקיים שוויון <math>\sqrt[b]{a} = \frac{m}{n}</math>, כאשר <math>m</math> ו-<math>n > 1</math> [[מספרים זרים|זרים]].

:<math>(1</math> [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיימים <math>(a,b,m,n) \in \N</math> כאשר <math>m</math> ו-<math>n > 1</math> זרים זה לזה, כך ש- <math>\sqrt[b]{a}= \frac{m}{n}</math>.

:<math>(3</math> עתהלעומת זאת, אםנתון <math>m</math>לנו זרכי ל-<math>n</math>, גם <math>^b|m^b</math>, בהכרחכלומר זרבמשוואה ל-<math>n^b</math> עקבמחלק מכפלת מספרים זרים בעצמםאת <math>m^b</math> פעמים כךבשלמות <math>.a = \underbrace{\frac{m}{n} \times \frac{m}{n} \times \cdots \times \frac{m}{n}}_b</math> פעמים.

:<math>(4</math> לעומת זאת, נתון לנו כיהמשוואה <math>nan^b|=m^b</math>, כלומרמתחלקת ב-<math>n^b</math> מחלקבשלמות אתבשני אגפיה ([[הלמה של אוקלידס|למת אוקלידס]]). כלומר <math>mn|(an^b)</math> בשלמותוגם <math>an|(m^b)</math> פעמיםבשלמות.

:<math>(5</math> אם{{כ}} <math>n^b|m^b</math> בשלמותאם מובןורק אם שגםגם <math>n|m^b</math> בשלמות. מכאן נקבל שאכן <math>n|m</math>.