ויקיפדיה

משפט הגבול המרכזי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שורה 46:
כדי לעשות זאת, לוקחים משתנים מקריים בלתי תלויים <math>X_1,\dots , X_n</math> המתפלגים אחיד בקטע <math>[0,1]</math> (עם [[מידת לבג]]).כל משתנה כזה הוא בעל תוחלת אפס ושונות <math>\sigma=\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. משתנים אלו "מייצגים" את המשתנים <math>x_1,\dots,x_n</math> במרחב האוקלידי ולכן הם בלתי תלויים. אם כן האינטגרל שווה לתוחלת של המ"מ <math>\cos\left(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{\sqrt{n}}\right)</math>.
 
לפי משפט הגבול המרכזי, מתקיים <math>Z = \frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{\sqrt{n}}\longrightarrow N\left(0,\sigma^{2}\right) </math>. כעת, ניתן להסיק מהמשפט גם [[התכנסות (הסתברות)#התכנסות חלשה|התכנסות חלשה]] (ולמעשה התנאי שקול להתכנסות בהתפלגות) - כלומר, לכל פונקציה רציפה וחסומה <math>f</math> מתקיים <math>E[f(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{\sqrt{n}}Z)] \to E[f(N(\mu,\sigma^2)Z)]</math>; במקרה שלנו, <math>\cos</math> היא רציפה וחסומה, ולכן הגבול שווה ל
<center>
<math>L=E\left[\cos\left(N\left(0,\sigma^{2}\right)Z\right)\right]=E\left[\frac{e^{iN\left(0,\sigma^{2}\right)iZ}+e^{-iN\left(0,\sigma^{2}\right)iZ}}{2}\right]=\frac{1}{2}\left(\varphi_{N\left(0,\sigma^{2}\right)Z}(1)+\varphi_{N\left(0,\sigma^{2}\right)Z}(-1)\right)=e^{\frac{1}{6}} </math>
</center>
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משפט_הגבול_המרכזי"