הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברת הקווטרניונים של המילטון"

מ
בוט החלפות: על ידי
מ (בוט החלפות: על ידי)
: <math> \left( \alpha , \vec u \right) \left( \beta , \vec v \right) = \left( \alpha\beta - \vec u \cdot \vec v , \alpha \vec v + \beta \vec u + \vec u \times \vec v \right) </math> - כפל גרסמן. מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות ה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]]. כמו כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות: <math> (a,0) (b,0) = (ab,0) ; (a,0)(0, \vec v) = (0, a\vec v) </math> והזהות <math> \left( 0, \vec u \right) \left( 0, \vec v \right) = \left( -\vec u \cdot \vec v, \vec u \times \vec v \right) </math>, שממנה נגזרו מאוחר יותר הגדרות ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] וה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]].
 
הקווטרניונים ממלאים את יעודם המקורי, לסובב את המרחב התלת-ממדי, על- ידי פעולת ההצמדה: החבורה <math>\ \mathbb{H}^1</math> של הקווטרניונים מנורמה 1 פועלת על- ידי הצמדה על תת-המרחב התלת-ממדי <math>\ \mathbb{H}_0 = \{x \in \mathbb{H} \mid \operatorname{tr}(x) = 0\}</math>; פעולה זו מגדירה איזומורפיזם <math>\ \mathbb{H}^1/\{\pm 1\} \rightarrow \operatorname{SO}(3)</math> לחבורת הסיבובים (שהיא חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1).
 
== קווטרניונים שלמים ==