פונקציה רציפה (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישור
מ שינויים ותיקונים קלים, {{נ}}
שורה 3:
== מבוא ==
 
הדוגמה החשובה ביותר ל[[רציפות]] היא זו של פונקציות ממשיות; עבורן, פונקציה רציפה בנקודה <math>\ x_0</math> היא פונקציה שהערכים שלה בנקודות קרובות ל- <math>\ x_0</math> קרובים לערך שלה בנקודה עצמה. רעיון זה, למרות שהוא מנוסח בלשון של 'קרבה' שיש לה משמעות רק ב[[מרחב מטרי]], ניתן להכללה למרחב טופולוגי כלשהו, אם נסכיםנחליף ששתיאת האמירה "שתי נקודות הן 'קרובות'" אם הןבקיום מוכלות יחד ב"הרבה" [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]] שמכילות את שתיהן. הכללת מושג הרציפות למרחב טופולוגי כלשהו נעשית באופן דומה להכללת מושג [[גבול (מתמטיקה)|הגבול]] ממרחב מטרי למרחב טופולוגי כלשהו.
 
== הגדרה ==
שורה 11:
הפונקציה '''רציפה''' סתם, או '''רציפה בכל המרחב''', אם היא רציפה בכל נקודה <math>\ x_0 \in X</math>. ניסוח שקול וקצר יותר:
: <math>\ f:X\rightarrow Y</math> היא '''פונקציה רציפה''' אם לכל [[קבוצה פתוחה]] <math>\ U\subseteq Y</math>, הקבוצה <math>\ f^{-1}(U) = \{x \in X : f(x)\in U\}\subseteq X</math> פתוחה.
 
 
== דוגמאות ==
שורה 16 ⟵ 17:
לדוגמה, ב[[אנליזה מתמטית]] של פונקציות ממשיות ([[חדו"א]]), הקבוצות שאנו משתמשים בהם כדי להגדיר את הרציפות של פונקציה בנקודה הם [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] של הנקודה, או ליתר דיוק: [[כדור (טופולוגיה)|כדור פתוח]] ברדיוס אפסילון וכדור פתוח ברדיוס דלתא.
 
לדוגמהקל לראות, אםשאם Y היא בעלת [[טופולוגיה טריוויאלית|הטופולוגיה הטריוויאלית]], או אם ש- X היא בעלת [[טופולוגיה דיסקרטית]], אז כל פונקציה <math>\ f: X\rightarrow Y</math> רציפה.
 
== תכונות ==
שורה 27 ⟵ 28:
התכונות הבאות לגבי העתקה <math>\ f: X \to Y</math> בין שני מרחבים טופולוגים הן שקולות:
# ההעתקה <math>\ f</math> היא פונקציה רציפה.
# התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת-ב[[תת בסיס]] של הטופולוגיה ב-<math>\ Y</math> .
# התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"[[קבוצה סגורה]]".
# <math>\ f</math> רציפה נקודתית בכל <math>\ x</math> במרחב. כלומר, לכל <math>\ x</math>, לכל סביבה של <math>\ f(x)</math> קיימת סביבה <math>\ W</math> של <math>\ x</math> כך ש-<math>\ Ff(W) \subset V</math>.
# לכל <math>\ A \subset X</math> מתקיים: <math>\ f(\bar{A}) \subset \overline{ Ff(A) }</math>.
 
== ראו גם ==
שורה 39 ⟵ 40:
* [[פונקציה מדידה]]
 
 
----
 
{{טופולוגיה}}
שורה 48 ⟵ 49:
[[cs:Spojité zobrazení]]
[[de:Stetigkeit (Topologie)]]
 
{{נ}}