התפלגות ארלנג – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←‏פונקציית צפיפות הסתברות: עדכון, ויקיזציה לתת פסקה
שורה 35:
 
[[פונקציית צפיפות הסתברות|פונקציית צפיפות ההסתברות]] של [[משתנה מקרי]] מסוג ארלנג ניתנת על-פי:
 
<div align="center"><math>f(x; k,\lambda)={\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad\mbox{ : }x, \lambda \geq 0</math></div>
 
כאמור <math display="inline">k</math> נקרא פרמטר הצורה, ו-<math>\lambda</math> נקרא פרמטר הקצב.
 
צורה שקולה לכתיבת פונקציית צפיפות ההסתברות על ידי פרמטריזציה חלופית בה נעשה שימוש ב-<math>\mu</math>:
 
<div align="center"><math>f(x; k,\mu)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\mu}} }{\mu^k (k-1)!}\quad\mbox{ : }x, \mu \geq 0</math></div>בצורה זו משתמשים ב-<math>\mu</math> פרמטר גודל, כאשר (<math>\mu = 1/\lambda</math>). בצורה זו ניתן לראות בנקל כי כאשר <math>\mu</math> שווה ל 2, ההתפלגות זהה [[התפלגות כי בריבוע|להתפלגות כי בריבוע]] בעלת <math>2k</math> [[דרגות חופש]].
<div align="center"><math>f(x; k,\mu)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\mu}} }{\mu^k (k-1)!}\quad\mbox{ : }x, \mu \geq 0</math></div>
 
<div align="center"><math>f(x; k,\mu)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\mu}} }{\mu^k (k-1)!}\quad\mbox{ : }x, \mu \geq 0</math></div>בצורה זו משתמשים ב-<math>\mu</math> פרמטר גודל, כאשר (<math>\mu = 1/\lambda</math>). בצורה זו ניתן לראות בנקל כי כאשר <math>\mu</math> שווה ל 2, ההתפלגות זהה [[התפלגות כי בריבוע|להתפלגות כי בריבוע]] בעלת <math>2k</math> [[דרגות חופש]].
 
==פונקציית ההסתברות המצטברת==
שורה 46 ⟵ 51:
 
<div align="center"><math>F(x; k,\lambda) = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}</math></div>
כאשר גמא בנוסחה הנ"ל היא [[פונקציית גמא הלא שלמה]].
 
שורה 63 ⟵ 69:
קיים פיתוח אסימפטוטי לפי נוסחה של [[סריניוואסה רמנוג'אן|רמנוג'אן]] עבור ''הערך השכיח'' של התפלגות ארלנג<ref>{{Cite journal | last1 = Choi | first1 = K. P. | doi = 10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8 | title = On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan | journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 121 | pages = 245–251 | year = 1994 | jstor = 2160389| pmid = | pmc = }}</ref> עבור הפיתוח הזה ניתן לחשב את הקבועים וההגבלות הידועים.<ref>{{Cite journal | last1 = Adell | first1 = J. A. | last2 = Jodrá | first2 = P. | doi = 10.1090/S0002-9947-07-04411-X | title = On a Ramanujan equation connected with the median of the gamma distribution | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 360 | issue = 7 | pages = 3631 | year = 2007 | pmid = | pmc = }}</ref>
<ref>{{Cite journal | last1 = Jodrá | first1 = P. | title = Computing the Asymptotic Expansion of the Median of the Erlang Distribution | doi = 10.3846/13926292.2012.664571 | journal = Mathematical Modelling and Analysis | volume = 17 | issue = 2 | pages = 281–292 | year = 2012 | pmid = | pmc = }}</ref>
הקרוב הוא: <math>\dfrac{k}{\lambda}\left(1-\dfrac{1}{3k+0.2}\right)</math> מתחת לתוחלת <math>\tfrac{k}{\lambda}</math>.<ref name=Banneheka2009>Banneheka BMSG, Ekanayake GEMUPD (2009) "A new point estimator for the median of gamma distribution". ''Viyodaya J Science'', 14:95-103</ref>
 
==יצירת מספרים אקראיים ==