שארית של טור טיילור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 20:
== המשפט וההוכחה ==
משפט השארית קובע שהשארית שווה ל-: <math> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_L)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1} </math>, כאשר <math>\xi_L</math> היא הנקודה בה מתקבל ערך הביניים של <math>f^{{(n+1)}}</math> בקטע (x,a).
שורה 42 ⟵ 41:
נבחר <math>\phi(a) = (x-a)^{{(n+1)}}</math>. כיוון ש-<math> (x-a)^{{(n+1)}}</math> מקיים את כל התכונות הדרושות כדי להבטיח את תקפות משפט קושי, ולכן מתקבלת הנוסחה הבאה עבור השארית:
<math>R_{{(n+1)}}(x) = \frac{\phi(x) - 0}{\phi'(\xi_L)} * \frac{f^{{(n+1)}}(\xi_L)}{n!} (x - \xi_L)^n = \frac{(x - a)^{{(n+1)}}}{(n+1)(x-a)^n} * \frac{f^{{(n+1)}}(\xi_L)}{n!} (x - \xi_L)^n = \frac{f^{{(n+1)}}(\xi_L)}{(n+1)!}(x - \xi_L)^n*(x - a) = \frac{f^{{(n+1)}}(\xi_L)}{(n+1)!}(x - \xi_L)^{{(n+1)}} </math>
'''מ.ש.ל'''
הביטוי לשארית נקרא '''השארית בצורת לגרנז''''.
== דוגמאות ==
| |||