משפט המספרים המחומשים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
קישור פנימי ועיצוב - הזחות/מרכוז של נוסחאות. |
||
שורה 2:
נסמן ב-<math>p_n=\tfrac{3n^2-n}{2}</math> את ה[[מספר מחומש|מספר המחומש המוכלל]] ה-n-י. משפט המספרים המחומשים קובע את ה[[זהות (מתמטיקה)|זהות]] המפתיעה:
:<math display="block">\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-x^{k}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{p_n}</math>
כלומר,
:<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - \ldots</math>
שורה 19 ⟵ 18:
נגדיר את הטור הפורמלי:
:<blockquote><math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-x^{k}\right)</math></blockquote>
מפתיחת סוגריים באגף ימין נקבל:
:<blockquote><math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n}=\sum_{0<k_1<k_2<\ldots<k_m} (-1)^m x^{k_1+k_2+\ldots+k_m}</math></blockquote>
המקדמים של <math>x^n</math> הם 1 לכל חלוקה זוגית של n ו-{{משמאל לימין|-1}} לכל חלוקה אי-זוגית של n. כלומר <math>a_n</math> שווה למספר החלוקות הזוגיות של n פחות מספר החלוקות האי-זוגיות.
שורה 32 ⟵ 31:
*אחרת, יש רק l המחוברים גדולים ביותר שהם עוקבים (l<m). החסר מהם 1 והוסף את l כמחובר.
קל לראות שפונקציה זו היא [[אינוולוציה]], הפעלתה פעמיים מחזירה את החלוקה המקורית. כמו כן קל לראות שהפעלתה על חלוקה זוגית מחזירה חלוקה אי-זוגית ולהיפך. מכאן שמדובר ב[[התאמה חד-חד-ערכית ועל]] בין קבוצת החלוקות הזוגיות לקבוצת החלוקות האי-זוגיות של מספר נתון והן שוות, זאת למעט [[מקרה קצה]] בו הפונקציה נכשלת. למשל במקרה של 8 הפונקציה מתאימה את הזוגות:
:<math display="block">1+2+5 \leftrightarrow 2+6, \ \ \
1+3+4 \leftrightarrow 3+5, \ \ \ 8 \leftrightarrow 1+7</math> לכן, <math>a_8=0</math>.
ישנם שני מקרי קצה אפשריים שבהם הפונקציה נכשלת:
שורה 46 ⟵ 47:
משפט המספרים המחומשים מאפשר לחשב את <math>p(n)</math> באמצעות [[נוסחת נסיגה]]. אוילר הוכיח ש[[פונקציית החלוקה (תורת המספרים)#פונקציה יוצרת|הפונקציה היוצרת של פונקציית החלוקה]] היא:
:<math display="block">\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{k=1}^\infty \left(\frac {1}{1-x^k} \right)</math>
נסמן:
שורה 55 ⟵ 56:
מכאן של-n חיובי <math>a_n=0</math>. אולם אם נחשב אותו ישירות מן ההגדרה נקבל:
:<math display="block">a_n=\sum_{k\in \mathbb{Z}} (-1)^k\cdot p(n-p_k) </math>
ולאחר בידוד המחובר <math>(-1)^0\cdot p(n-p_0)=p(n)</math> והעברת אגפים מקבלים:
:<math display="block">p(n)=\sum_{k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}} (-1)^{k-1}\cdot p(n-p_k)</math>
זהו סכום סופי, שכן <math>p(0)=1</math> ([[סכום ריק]]), ולכל k שלילי <math>p(k)=0</math>.
==ראו גם==
| |||