ויקיפדיה

טרנספורמציות לורנץ – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
'''טרנספורמציות לורנץ''' הן [[טרנספורמציה לינארית|טרנספורמציות לינאריות]] בין [[מערכת ייחוס|מערכות ייחוס]] המראות כיצד משתנים ה[[זמן]] וה[[מרחב (פיזיקה)|מרחב]] כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס [[התמד|אינרציאלית]] הנעה יחסית אליה ב[[מהירות]] קבועה בקו ישר. את טרנספורמציית לורנץ אפשר להסיק מעקרונות היסוד (ה[[פוסטולט|פוסטולטים]]ים) של [[תורת היחסות הפרטית]], ואכן -– טרנספורמציות לורנץ הן כלי מרכזי בביצוע חישובים במסגרת תורה זו.
 
טרנספורמציית לורנץ פותחה עוד במאה ה-19 בנפרד מ[[תורת היחסות הפרטית]] על ידי ה[[פיזיקאי]] ה[[הולנד|הולנדי]]י [[הנדריק לורנץ]] כדי לפתור סתירות שנתגלו בין ה[[אלקטרומגנטיות]] ל[[מכניקה]] הקלאסית. אחת הבעיות הייתה [[שדה מגנטי|כוח לורנץ המגנטי]].
 
== מבוא ודוגמאות ==
שורה 30:
{{ניווט|הסתרה=כן|יישור טקסט=ימין|מוסתר=כן|כותרת=הוכחת הנוסחא לטרנספורמציית לורנץ|תוכן=
הנחות היסוד של בפיתוח טרסנפורמציית לורנץ הן
# '''שקילות של מערכות יחוס אינרציאליות''' – חוקי הפיזיקה מתקיימים ללא שינוי במערכות אינרציאליות.
# '''ייחודה של מהירות האור''' – מהירות האור היא המהירות הגבוהה ביותר שבה ניתן להעביר מידע, והיא זהה בכל המערכות.
 
שורה 45:
[[קובץ:Rel2.JPG|Rel2]]
 
'''תרשים 2''' – ''תרשים מרחב-זמן של האירועים כפי שנצפים במערכת S, כאשר שלוש הנקודות נמצאות במנוחה ביחס למערכת 'S, וזו נעה במהירות קבועה ביחס ל-S. בשתי המערכות הנקודה B נמצאת בדיוק באמצע הקטע AC בזמן t=0. ''
 
ההנחה כי מהירות האור שווה בכל מערכות הייחוס מתבטאת בכך שקרני האור, המיוצגות בתרשימים בעזרת הקווים הכחולים, נראות אותו הדבר בדיוק בשתי המערכות. במערכת S, האות לא מגיע ל-'A ול-'C באותו זמן (האירועים אינם סימולטניים). מכאן, שהקו 'A<sub>1</sub>',C<sub>1</sub> אינו מקביל לציר ה-x של מערכת S. מאידך, במערכת 'S שלוש הנקודות נמצאות במנוחה, ולכן במערכת S שני האירועים הם סימולטניים (כלומר, במערכת 'S האור מגיע לנקודות A,C באותו הזמן). מכאן ניתן לתאר את הקואורדינטות של מערכת 'S בהשוואה למערכת S. ציר הזמן 't מקביל לקו העולם של הנקודות ביחס למערכת S, וציר המיקום 'x מקביל לקו הסימולטני 'A<sub>1</sub>',C<sub>1</sub>. מערכת הצירים של מערכת 'S מופיעה בתרשים 3.
שורה 51:
[[קובץ:Rel3.JPG|Rel3]]
 
'''תרשים 3''' – ''תרשים מרחב-זמן של מערכת S ושל מערכת 'S הנעה במהירות קבועה ביחס ל-S. על סמך קו הסימולטני 'A<sub>1</sub>',C<sub>1</sub>.ניתן לקבוע את ציר x' של המערכת הנעה. ציר הזמן t' מקביל לקו העולם של כל אחת מהנקודות A, B, C.''
 
נבחן עתה את תיאורו של אירוע כלשהו P בשתי המערכות. במערכת S האירוע יתואר בעזרת הקואורדינאטות <math> (x_p, t_p) \ </math>, בעוד שבמערכת 'S יהיה תיאורו בעזרת הקואורדינאטות <math> (x_p', t_p') \ </math>. תיאור האירוע בשתי המערכות S ו- 'S מופיע בתרשים 4.
 
[[קובץ:Rel4.JPG|Rel4]]
 
'''תרשים 4''' – ''תיאור האירוע P בעזרת שתי מערכות אינרציאליות. מערכת נחה S ומערכת נעה 'S.''
 
===מעבר מקואורדינאטות של מערכת נחה למערכת נעה===
שורה 72:
 
(2) <math>\frac{b}{a}=\frac{x'}{t'}\equiv v</math>
 
כאשר v היא מהירות מערכת 'S יחסית ל S.
נעקוב עתה אחרי אות אור היוצא מהראשית 0 ב- t=0. תיאור האות בכל אחת מהמערכות יהיה:
 
(3) <math>\begin{align}x&= ct \\ x'&=ct'\end{align}</math>
 
נציב את משואות (3) במשוואות (1) ונקבל:
 
(4) <math>\begin{align}ct&= act'+bt'=(ac+b)t' \\ ct'&=act-bt=(ac-b)t\end{align}</math>
 
נחלץ את t ו- 't ממשואות (4) ונציב את (2) ונקבל
 
(5) <math>\ c^2=a^2(c^2-v^2) </math>▼
 
▲(5) <math>\ c^2=a^2(c^2-v^2) </math>
ממשוואה זו ניתן לחלץ את a:
 
(6) <math>\ a=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv \gamma </math>
 
הסימון הסטנדרטי לגודל זה הוא האות היוונית <math>\ \gamma</math>. נציב את (6) ב- (1) ונקבל
 
שורה 97:
וכך קיבלנו את הנוסחא ללטרנספורמצייה של קוארדינטות המרחב. על מנת לקבל את הטרנספורמציה של קואורדינאטות הזמן נציב את (3) ב- (7)
 
<math>\begin{align}t & = \gamma\left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right) \\t'&= \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right) \end{align}</math>
 
מאחר שאין תנועה יחסית בין מערכת S למערכת 'S בכיוון ציר y וציר z, קוארדינטות אלה לא עוברות שינוי, וניתן לסכם את התוצאות בצורה תלת ממדית:
 
<math> \begin{array}{lclclcl}
x&=&\gamma (x'+vt')&\qquad&x'&=&\gamma (x-vt)\\
y & = & y' & \qquad & y' & = & y\\
z & = & z' & \qquad & z' & = & z\\
t&=&\gamma \left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right)&\qquad&t'&=&\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\\
\end{array}</math>
 
}}
 
== הגדרה פורמלית ==
 
=== מרחב מינקובסקי וה[[מטריקה]] ===
 
שורה 133 ⟵ 132:
 
== סיווג טרנספורמציות לורנץ ==
 
=== סיבובים מרחביים ===
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/טרנספורמציות_לורנץ"