תורת ההסתברות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 64:
בחלקו השני של הספר, ברנולי הציג לראשונה את הקומבינטוריקה בצורה שיטתית. תחילה הוכיח ברנולי ב[[אינדוקציה]] שמספר הפרמוטציות של n עצמים הוא !n, ושמספר הפרמוטציות של n עצמים, a מסוג אחד, b מסוג שני, c מסוג שלישי... הוא (נוסחת מרסן) (...!n!/(a!b!c. בהמשך הספר, קבע ברנולי את מספר האפשרויות אם נחלק n עצמים, שמהם ניקח b עצמים, לשתי תת-קבוצות, אחת בת m עצמים, השנייה בת n - m עצמים, מהאחת ניקח a עצמים, ומהשנייה ניקח b - a עצמים, כמכפלה של מספר האפשרויות של תת-קבוצה אחת במספר האפשרויות של תת הקבוצה האחרת.
כן דן ברנולי בלקיחה עם החזרה. אם ישנם n עצמים, אנו לוקחים m עצמים מתוכם, לכל חפץ מותר להלקח m פעמים, מספר הקומבינציות הוא: <math>\ (n+m - 1)!/(m!(n - 1)!)</math> - כל אחד מ-m העצמים 'נספר' בתור אחד מ-n המקוריים וגם בתור אחד מ-m העצמים שנלקחו,
====בעיית המשחק הבלתי מוגבל====
ברנולי מצא את הנוסחא לבעיית המשחק בעל אורך בלתי מוגבל שהציג הויגנס, ופתר מספר מקרים פרטיים שלה. למשל, שחקנים A ו-B משחקים והמנצח צריך להשיג תוצאה 6 בקוביה בודדת. A זורק פעם, B זורק פעם, A זורק פעמיים, B זורק פעמיים, A זורק 3 פעמים... ההסתברות לא לזכות בכל זריקה היא 5/6 = q, וההסתברות ש-A ינצח בהטלה הראשונה היא לפכך 1/6 = <math>\ 1 - q</math>. באחת משתי ההטלות הבאות: ההסתברות '''לא לזכות''' בהטלה הקודמת, שלו ושל B היא <math>\ q^2</math>. ההסתברות '''לזכות''' באחת משתי ההטלות היא <math>\ (1-q)^2</math>, והמכפלה היא: <math>\ q^2(1-q)^2</math>. כדי ש'''יזכה''' באחת משלוש ההטלות הבאות, צריך, בנוסף, '''לא לזכות''' בשש הזריקות הקודמות להן (2+2+1+1), של A ושל B, הסתברות של <math>\ {q}^6({1 - q)}^3 </math>. אם נחבר את התוצאה עם זו הקודמת נקבל: <math>\ 1 - q + q^2(1-q)^2 + {q}^6({1 - q)}^3 ... </math>. אפשר להמשיך באותו קו מחשבה גם הלאה. כך, לאחר פתיחת סוגריים ושינוי קל בסדר האיברים מתקבלת הסדרה: <math>\ 1 - q - {q}^4 - {q}^9...+ {q}^2 + {q}^6 + {q}^{12} + {q}^{20}... </math>, וזו לראשונה בעיה בהסתברות נפתרה באמצעות [[סדרה אינסופית]].
|