תורת ההסתברות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 64:
בחלקו השני של הספר, ברנולי הציג לראשונה את הקומבינטוריקה בצורה שיטתית. תחילה הוכיח ברנולי ב[[אינדוקציה]] שמספר הפרמוטציות של n עצמים הוא !n, ושמספר הפרמוטציות של n עצמים, a מסוג אחד, b מסוג שני, c מסוג שלישי... הוא (נוסחת מרסן) (...!n!/(a!b!c. בהמשך הספר, קבע ברנולי את מספר האפשרויות אם נחלק n עצמים, שמהם ניקח b עצמים, לשתי תת-קבוצות, אחת בת m עצמים, השנייה בת n - m עצמים, מהאחת ניקח a עצמים, ומהשנייה ניקח b - a עצמים, כמכפלה של מספר האפשרויות של תת-קבוצה אחת במספר האפשרויות של תת הקבוצה האחרת.
 
כן דן ברנולי בלקיחה עם החזרה. אם ישנם n עצמים, אנו לוקחים m עצמים מתוכם, לכל חפץ מותר להלקח m פעמים, מספר הקומבינציות הוא: <math>\ (n+m - 1)!/(m!(n - 1)!)</math> - כל אחד מ-m העצמים 'נספר' בתור אחד מ-n המקוריים וגם בתור אחד מ-m העצמים שנלקחו, והדברולקיחת שקולm עצמים שקולה להשמת 1 - n מחיצות ב- n+m - 1 מיקומים אפשריים. כן הראה כי מספר הפרמוטציות האפשריות ללקיחת m עצמים מתוך n הוא <math>\ n^m</math>. בהמשך, בעזרת טבלאות, הדגים ברנולי שיטה אלגוריתמית למציאת מספר הצירופים האפשריים לכל תוצאה במספר קוביות נתון. ברנולי חקר, כמו פסקל, את 'משולש פסקל', וחזר, פחות או יותר, על אותן ההוכחות. מחקריו ב'משולש פסקל' הובילוהו גם למספר תוצאות חשובות ב[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]].
====בעיית המשחק הבלתי מוגבל====
ברנולי מצא את הנוסחא לבעיית המשחק בעל אורך בלתי מוגבל שהציג הויגנס, ופתר מספר מקרים פרטיים שלה. למשל, שחקנים A ו-B משחקים והמנצח צריך להשיג תוצאה 6 בקוביה בודדת. A זורק פעם, B זורק פעם, A זורק פעמיים, B זורק פעמיים, A זורק 3 פעמים... ההסתברות לא לזכות בכל זריקה היא 5/6 = q, וההסתברות ש-A ינצח בהטלה הראשונה היא לפכך 1/6 = <math>\ 1 - q</math>. באחת משתי ההטלות הבאות: ההסתברות '''לא לזכות''' בהטלה הקודמת, שלו ושל B היא <math>\ q^2</math>. ההסתברות '''לזכות''' באחת משתי ההטלות היא <math>\ (1-q)^2</math>, והמכפלה היא: <math>\ q^2(1-q)^2</math>. כדי ש'''יזכה''' באחת משלוש ההטלות הבאות, צריך, בנוסף, '''לא לזכות''' בשש הזריקות הקודמות להן (2+2+1+1), של A ושל B, הסתברות של <math>\ {q}^6({1 - q)}^3 </math>. אם נחבר את התוצאה עם זו הקודמת נקבל: <math>\ 1 - q + q^2(1-q)^2 + {q}^6({1 - q)}^3 ... </math>. אפשר להמשיך באותו קו מחשבה גם הלאה. כך, לאחר פתיחת סוגריים ושינוי קל בסדר האיברים מתקבלת הסדרה: <math>\ 1 - q - {q}^4 - {q}^9...+ {q}^2 + {q}^6 + {q}^{12} + {q}^{20}... </math>, וזו לראשונה בעיה בהסתברות נפתרה באמצעות [[סדרה אינסופית]].