תורת ההסתברות – הבדלי גרסאות

 

כן דן ברנולי בלקיחה עם החזרה. אם ישנם n עצמים, אנו לוקחים m עצמים מתוכם, לכל חפץ מותר להלקח m פעמים, מספר הקומבינציות הוא: <math>\ (n+m - 1)!/(m!(n - 1)!)</math>. זאת כיוון שכל אחד מ-m העצמים 'נספר' בתור אחד מ-n המקוריים וגם בתור אחד מ-m העצמים שנלקחו. לקיחת m עצמים מתוך m, אם כן, שקולה להשמת 1 - n מחיצות ב- n+m - 1 מיקומים אפשריים, כאשר ישנן !m אפשרויות לסידורם. כן הראה כי מספר הפרמוטציות האפשריות ללקיחת m עצמים מתוך n הוא <math>\ n^m</math> ומספר הקומבינציות הוא !m. בהמשך, בעזרת טבלאות, הדגים ברנולי שיטה אלגוריתמית למציאת מספר הצירופים האפשריים לכל תוצאה במספר קוביות נתון. ברנולי חקר, כמו פסקל, את 'משולש פסקל', וחזר, פחות או יותר, על אותן ההוכחות. מחקריו ב'משולש פסקל' הובילוהו גם למספר תוצאות חשובות ב[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]].

====בעיית המשחק הבלתי מוגבל====

ברנולי מצא את הנוסחא לבעיית המשחק בעל אורך בלתי מוגבל שהציג הויגנס, ופתר מספר מקרים פרטיים שלה. למשל, שחקנים A ו-B משחקים והמנצח צריך להשיג תוצאה 6 בקוביה בודדת. A זורק פעם, B זורק פעם, A זורק פעמיים, B זורק פעמיים, A זורק 3 פעמים... ההסתברות לא לזכות בכל זריקה היא 5/6 = q, וההסתברות ש-A ינצח בהטלה הראשונה היא לפכך 1/6 = <math>\ 1 - q</math>. באחת משתי ההטלות הבאות: ההסתברות '''לא לזכות''' בהטלה הקודמת, שלו ושל B היא <math>\ q^2</math>. ההסתברות '''לזכות''' באחת משתי ההטלות היא <math>\ (1-q)^2</math>, והמכפלה היא: <math>\ q^2(1-q)^2</math>. כדי ש'''יזכה''' באחת משלוש ההטלות הבאות, צריך, בנוסף, '''לא לזכות''' בשש הזריקות הקודמות להן (2+2+1+1), של A ושל B, הסתברות של <math>\ {q}^6({1 - q)}^3 </math>. אם נחבר את התוצאה עם זו הקודמת נקבל: <math>\ 1 - q + q^2(1-q)^2 + {q}^6({1 - q)}^3 ... </math>. אפשר להמשיך באותו קו מחשבה גם הלאה, בהטלות נוספות. כך, לאחר פתיחת סוגריים ושינוי קל בסדר האיברים מתקבלת הסדרה: <math>\ 1 - q - {q}^4 - {q}^9...+ {q}^2 + {q}^6 + {q}^{12} + {q}^{20}... </math>, וזו לראשונה בעיה בהסתברות נפתרה באמצעות [[סדרה אינסופית]].