מרכז (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

[[תורת החבורות|בתורת החבורות]] '''מרכז''' [[חבורה|החבורה]] <math>\ G</math> היא [[קבוצה|הקבוצהקבוצת]] <math>\ Z(G)</math> של כל האיברים, שמתחלפים עם כל האיבריםאיברי ב-<math>\ G</math>,. קבוצה זו כלומר:מסומנת <math>\ Z(G)=\{z\in G| gz=zg\ \forall g\in G\} </math>.

אם <math>\ G</math> היא חבורה אבלית אז מרכז <math>\ G</math>החבורה הוא כל <math>\ G</math>החבורה. מצד שני, קבוצה נקראת '''חסרת מרכז''' אם <math>\ Z(G)=\{e\}</math> (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אך פעם לא [[הקבוצה הריקה|ריק]]).

נתבונן ב[[העתקה |בהעתקה]] <math>\ f</math> מחבורהמהחבורה <math>\ G</math> [[אוטומורפיזם|לחבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ G</math>שלה המוגדרת:
: <math>\ f(g)(h)=ghg^{-1}</math>.
( <math>\ f(g)</math> הוא אוטומורפיזם של G שפעולתו על איבר שרירותי h מתוארת בנוסחה). [[גרעין (אלגברה)|הגרעין]] של ההעתקה, כלומר כל איברי G שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של <math>\ G</math>, והתמונה היא חבורה הנקראת [[חבורת האוטומורפיזמים הפנימית]] של G, ומסומנת <math>\ Inn(G)</math>. לפי [[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפט האיזומורפיזם הראשון]] <math>\ G/Z(G)\cong Inn(G)</math>.