קבוצה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: נורווגי |
Aaron fixler (שיחה | תרומות) ניסוח |
||
שורה 2:
'''קבוצה''' היא [[מושג יסודי]] ב[[מתמטיקה]]. התיאור האינטואיטיבי של '''קבוצה''' הוא "אוסף של עצמים", אך ישנם ענפים במתמטיקה בהם ניתנות הגדרות מדויקות יותר, כגון: [[תורת הקבוצות האקסיומטית]].
נהוג להציג קבוצה באמצעות אותיות ABC אנגליות גדולות , ואת איברי הקבוצה בתוך [[סוגריים מסולסלים]], שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה (למשל {כלב, חתול, צרצר} ), או מופיע כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה (למשל {x :x אזרח סין} ). לעתים מוצגת הקבוצה באמצעות רשימה של חלק מאיבריה שבסופם '...' ([[שלוש נקודות]]), מתוך הנחה שהקורא יסיק מהחלק הנתון את יתר איברי הקבוצה.
עצמים הנמצאים בקבוצה הם [[איבר (מתמטיקה)|איברי]] הקבוצה. בין האיברים לא חייב להיות קשר כלשהו מעבר לכך. כאשר עצם כלשהו הוא איבר בקבוצה נאמר שהוא שייך לקבוצה, על כל עצם אחר נאמר שהוא לא שייך לקבוצה זו. אפשר שגם עצם השייך לקבוצה הוא קבוצה בעצמו (לדוגמא: <math>A=\{1,\{1\},B\},B=\{1,2\}</math> A מכיל 3 איברים, 1 שייך ל-A, קבוצה המכילה איבר 1, וקבוצה B המכילה את 1ו-2 ) .
==הגדרה==
בתיאור [[תורת הקבוצות הנאיבית|נאיבי]] קבוצה היא אוסף של עצמים מספרים ואו מילוליים, סופיות או אינסופיות, נטול סדר. כל עצם בעולם, או שהוא שייך לקבוצה (ואז הוא נקרא איבר של הקבוצה) או שאינו שייך לה. לא ניתן להיות איבר של קבוצה יותר מפעם אחת ({1, 1} ו-{1} הם סימונים שונים לאותה הקבוצה, הקבוצה שאיברה היחיד הוא המספר 1). שתי קבוצות הן שוות כאשר יש להן בדיוק אותם האיברים.
כאשר רוצים לבסס את תורת הקבוצות באופן [[ריגורוזיות|ריגורוזי]] נחוצה הגדרה קשוחה יותר שאינה מסתמכת על תאורים עמומים. ההגדרה המקובלת ביותר לקבוצה היא באמצעות [[אקסיומות ZF]] הכתובות ב[[שפה מסדר ראשון]]. האקסיומות מגדירות יקום שלאיבריו אנו קוראים קבוצות ומוגדר עליהן [[יחס]] של שייכות. ביקום יש רק קבוצות ולכן איבריה של קבוצה הם תמיד קבוצות בעצמם. האקסיומות מטילות מספר מגבלות על מה ראוי להיקרא קבוצה (למשל קבוצה לא יכולה להיות שייכת לעצמה) כדי למנוע סתירות דוגמת [[הפרדוקס של ראסל]].
| |||