תמורה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

באופן אינטואיטיביב[[מתמטיקה]], '''תמורה''' (בלועזית: '''פֶּרְמוּטַצְיָה''') היא (באופן אינטואיטיבי) סידור מחדש של העצמים ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. הגדרה פורמלית, שלכל תמורהפונקציה מופיעה[[חד-חד בהמשךערכית ערךועל]] זה.מקבוצה לעצמה נחשבת תמורה.

==דוגמה -: מהי תמורה?==

למשל, נסתכל למשל על ה[[פונקציה]]

תהא <math>\ X</math> [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. [[פונקציה]] <math>\sigma : X \to X</math> תקרא '''תמורה''' על הקבוצה <math>\ X</math> אם היא [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד-חד-ערכית ועל]].

הגדרה זו תקפה גם למקרהבמקרה שהקבוצה <math>X</math> [[קבוצה אינסופית|אינסופית]]. כלומרבמילים אחרות, היאתמורה יכולה מתארתלתאר גם שינוי בסדר של [[אינסוף]] איברים.

*'''[[סגירות (אלגברה)|סגירות]] קבוצת התמורות [[הרכבת פונקציות|להרכבה]]'''. כלומר, אם <math>\ \sigma , \tau</math> הן תמורות על הקבוצה <math>\ X</math>, אזי גם הרכבתן היא תמורה על <math>\ X</math>.

*'''קיום תמורה הופכית'''. אם <math>\ \sigma</math> היא תמורה על <math>\ X</math> אז יש תמורה <math>\ \ \sigma^{-1}</math> על <math>\ X</math> שהרכבתן היא תמורת הזהות <math>\ \mbox{id}</math> (התמורה שאינה משנה כלל את סדר האיברים). כלומר <math>\sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \circ \sigma = \mbox{id} </math>.

משלוש התכונות לעיל עולה שאוסף כל התמורות על קבוצה <math>\ X</math> מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] עם הפעולה של [[הרכבת פונקציות|הרכבת תמורות]]. חבורה זו מסומנת <math>\ S_X</math> ונקראת [[החבורה הסימטרית]].

'''משפט:''' אם <math>\ X</math> [[קבוצה סופית]] בעלת <math>\ n</math> איברים אז

<math>\ |S_X|=n!</math>.

בסעיףקל זהלהבין נסתכלאת בחבורותסוגי התמורות מעלהשונות, אם נסתכל על הקבוצה <math>\ \{ 1,2, \ldots, n \}</math>. במצב ההתחלתי, כל איבר נמצא במקום המתאים לו (האיבר 2, למשל, נמצא במקום השני). כאשר אנו מתארים תמורה אנו בעצם אומרים לגבי כל איבר לאיזה מקום הוא עובר. למשל: "האיבר 3 עובר למקום 5" פירושו הוא שבסדר החדש (סידור המספרים בשורה אחרי ביצוע התמורה, כלומר - הפעלת הפונקציה על כל אחד מהם) המספר 3 יופיע במקום החמישי. בהמשך לא תמיד נציין "איבר" או "מקום" ונשתמש בביטויים כמו "a עובר ל bל־b" או "c מחליף את d" וכדומה.

* תמורה זו מסומנת כ כ־(a b), והיא פשוט מחליפה בין האיברים a ו bו־b.

* לדוגמה: הפעלת החילוף (2 1) על הקבוצה { 3 2 1 } מחזירמחזירה { 3 1 2}.

* מחזור (או מעגל) זוהוא תמורה הפועלת על קבוצת מספרים באופן מעגלי: האיבר <math>\,a_1</math> עובר למקום <math>\,a_2</math>, האיבר <math>\,a_2</math> עובר ל ל־<math>\,a_3</math>, עד לאיבר <math>\,a_{r-1}</math> העובר ל-ל־<math>\,a_r</math>, ובסופווהאיבר שלהאחרון דבר האיברבסדרה, <math>\,a_r</math> עובר ל-ל־<math>\,a_1</math>. בשל החשיבותחשיבותן הרבה של תמורות מסוג זה לגבי פעולות ב[[החבורה הסימטרית|חבורה הסימטרית]], יש להן סימון מיוחד -: <math>\ \left(a_1, \ldots, a_r \right)</math>,. שממנומסימון זה מביניםמובן גם שהתמורה אינה מזיזה ערכיםממקומם איברים שאינם מופיעים ברשימה <math>\ a_1,\ldots,a_r</math>. לדוגמה: המחזור (4 3 2) מעביר את 2 ל-3ל־3, את 3 ל-4ל־4, את 4 ל-2ל־2, ואתומותיר 1(למשל) הואאת מותיר1 במקומו.

* מחזורחילוף הוא מקרה פרטי של מחזור: כאשר במחזור שני איברים בלבד הוא חילוףשקול לחילוף.

: <math>\ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5 \end{pmatrix} </math>

ניתנת לפירוק ל <math>\ \sigma = (132)(56)</math>. בפירוק לרוב משמיטים את המחזורים באורך אחד (בדוגמה זו זהו המחזור <math> \ (4) </math> ), כיוון שמחזור באורך אחד הוא למעשה תמורת ה[[פונקציית הזהות|זהות]].

מבנה המחזורים של התמורה, כלומר אורך המחזורים הזרים ומספרם, מספק מידע חשוב לגבי התמורה. לדוגמה, [[סדר (תורת החבורות)#סדר של איבר בחבורה|סדר]] התמורה הוא ה[[מכפלה משותפת מינימלית|מכפלה המשותפת המינימלית]] של אורכי המחזורים. בנוסף, הפירוק למחזורים זרים היאהוא [[שמורה (מתמטיקה)|שמורה]] תחת [[איזומורפיזם (מתמטיקה)#איזומורפיזם בין חבורות|איזומורפיזמים]]: אם <math>\ \tau </math> תמורה כלשהי, אז ל[[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] <math>\ \tau\sigma\tau^{-1}</math> יש את אותו מבנה מחזורים של <math> \ \sigma </math>.

כל תמורה אפשר להציג כ[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של חילופים, בדרכים שונות. למרות שמספר החילופים אינו קבוע, הזוגיות של מספר זה לא תלויה בהצגה. בהתאם לכך, התמורה האמורה היא תמורה "זוגית", כלומר בעלת '''סימן''' "1+"; או "אי-זוגית", כלומר בעלת סימן "1-". לדרך זו של הקצאת סימנים לתמורות יש תכונה חשובה: הסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים, כך שהעתקת הסימן <math>\ \mbox{sgn} : S_n \to \{ +1, -1 \}</math> מהווה [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]]. הגרעין של הומומורפיזם זה הוא [[חבורת התמורות הזוגיות]].

# הסימן של <math>\ \sigma</math> הוא <math>\ \sgn(\sigma) = \frac{\prod_{i<j}(x_j-x_i)}{\prod_{i<j}(x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)})}</math>, כאשר <math>\ x_1,\dots,x_n</math> משתנים. התוצאה היא תמיד מספר, השווה ל-<math>\ \pm 1</math>.