תורת ההסתברות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות)
שורה 61:
ברנולי עמד על ההבדל בין מאורעות נפרדים לחלוטין (שני צדדים של מטבע בהטלה, למשל), למאורעות לא נפרדים. למשל, שנים שנידונים למוות, מקבלים רשות לשחק, כל אחד תור בודד בשתי קוביות, המנצח ישוחרר ואם התוצאה זהה - ישוחררו שניהם. כאן לכל נידון הסתברות 7/12 להשתחרר.
 
בחלקו השני של הספר, ברנולי הציג לראשונה את הקומבינטוריקה בצורה שיטתית. תחילה הוכיח ברנולי ב[[אינדוקציה]] שמספר הפרמוטציות של n עצמים הוא !n, ושמספר הפרמוטציות של n עצמים, a מסוג אחד, b מסוג שני, c מסוג שלישי... הוא (נוסחת מרסן) (...!n!/(a!b!c. בהמשך הספר, קבע ברנולי את מספר האפשרויות אם נחלק n עצמים, שמהם ניקח b עצמים, לשתי תת-קבוצות, אחת בת m עצמים, השנייה בת n - m עצמים, מהאחת ניקח a עצמים, ומהשנייה ניקח b - a עצמים, כמכפלה של מספר האפשרויות של תת-קבוצה אחת במספר האפשרויות של תת -הקבוצה האחרת.
 
כן דן ברנולי בלקיחה עם החזרה. אם ישנם n עצמים, אנו לוקחים m עצמים מתוכם, לכל חפץ מותר להלקח m פעמים, מספר הקומבינציות הוא: <math>\ (n+m - 1)!/(m!(n - 1)!)</math>. זאת כיוון שכל אחד מ-m העצמים 'נספר' בתור אחד מ-n המקוריים וגם בתור אחד מ-m העצמים שנלקחו. לקיחת m עצמים מתוך m, אם כן, שקולה להשמת 1 - n מחיצות ב- n+m - 1 מיקומים אפשריים, כאשר ישנן !m אפשרויות לסידורם. כן הראה כי מספר הפרמוטציות האפשריות ללקיחת m עצמים מתוך n הוא <math>\ n^m</math> ומספר הקומבינציות הוא !m. בהמשך, בעזרת טבלאות, הדגים ברנולי שיטה אלגוריתמית למציאת מספר הצירופים האפשריים לכל תוצאה במספר קוביות נתון. ברנולי חקר, כמו פסקל, את 'משולש פסקל', וחזר, פחות או יותר, על אותן ההוכחות. מחקריו ב'משולש פסקל' הובילוהו גם למספר תוצאות חשובות ב[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]]. כן פיתח ברנולי פתרון ל'בעיית המשחק המופסק' עבור משחקים התלויים במיומנות, כמו [[טניס]], כלומר ההסתברות לניצחון כל אחד מן הצדדים אינה 0.5. העיקרון של אותו פתרון הנו הרחבה של נוסחת הרקורסיה של פסקל (ר' למעלה).