|
'''תנע זוויתי''' הוא [[גודל פיזיקלי]] [[וקטור (פיזיקה)|וקטורי]] המודד תנועה סיבובית.
תנע זוויתי [[חוק שימור|נשמר במערכת סגורה]]. ב[[מכניקה]], ובפרט ב[[מכניקה של גוף קשיח]], שימור התנע הזוויתי מנוצל להקניית יציבות לכלי רכב דו-גלגלייםדו־גלגליים ולפעולת ה[[גירוסקופ]] המכני., [[מכניקתוהוא הקוונטים|בתורת הקוונטים]] שימור התנע הזוויתי משמש להגדרת תגובות אפשריות בין חלקיקים. שימור התנע הזוויתי הואגם הגורם העיקרי ליצירת [[כוכב לכת|כוכבי לכת.]]{{הערה|ראו למשל בערך [[התפתחות מערכת השמש#היווצרות כוכבי הלכת]], וראו גם:{{ש}}<div class="mw-content-ltr">{{cite journal|last=Woolfson|first=M.M.|title=Solar System – its origin and evolution|journal=Q. J. R. Astr. Soc.|volume=34| pages=1–20|date=1993|bibcode=1993QJRAS..34....1W}}</div>}} ב[[מכניקת הקוונטים|תורת הקוונטים]], שימור התנע הזוויתי מקל על חישוב הגדרת תגובות אפשריות בין חלקיקים.
<div class="mw-content-ltr">{{cite journal|last=Woolfson|first=M.M.|title=Solar System – its origin and evolution|journal=Q. J. R. Astr. Soc.|volume=34| pages=1–20|date=1993|bibcode=1993QJRAS..34....1W}}</div>}}
==הסבר אינטואיטיבי==
התנע הזוויתי מזכיר בתכונותיו את תכונות [[תנע|התנע הקווי]] (התנע הפשוט והמוכר יותר, הנתפס כ'''תנופה''' או "שווּנְג" של גוף נע). התנע הקווי, המוגדר כמכפלת המסה במהירות, מתאר את יכולתו של גוף להמשיך בתנועתו (תכונה זו נקראת גם אינרציה; ככל שהתנע של גוף גדול יותר, כך יהיה קשה יותר להאט או להאיץ אותו): על פי [[חוק שימור התנע]], אם לא פועלים כוחות חיצוניים אזי התנע של גוף נשאר קבוע, ועל פי [[החוק השני של ניוטון]], כוחות גורמים לשינוי בתנע. לדוגמה, קשה יותר לעצור משאית מאשר אופנוע שנוסעים במהירות שווה, כיוון שהמסה של המשאית גדולה יותר, ולכן גם התנע שלה.
== תנע זוויתי של גוף נקודתי ==
[[קובץ:AngularMomentumOrigin.svg|ממוזער| התנע הזוויתי של גוף עם תנע קווי <math>\vec p</math>, בשלוש מערכות ייחוס שונות: A,{{כ}} B ו־C . מערכת הייחוס משפיעה על גודלו וכיוונו של התנע הזוויתי.]] ▼
במכניקה קלאסית, מוגדר [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] התנע הזוויתי <math>\vec L</math> של גוף נקודתי על ידי הנוסחה:
:<math display="block">\vec L=\vec r\times\vec p</math>
כאשר <math>\vec r</math> הוא וקטור ה[[העתק (פיזיקה)|העתק]] מראשית הצירים למיקום הגוף, <math>\vec p</math> הוא וקטור [[תנע|התנע הקווי]], והפעולה <math>\times</math> מסמנת [[מכפלה וקטורית]]. במילים אחרות, ערכו של התנע הזוויתי תלוי במרחקו של הגוף מראשית הצירים, מערכובערכו של התנע הקווי וכן מהזוויתובזווית בין התנע הקווי לציר הסיבוב. גודלו של התנע הזוויתי, בהיותו נתון על ידי מכפלה וקטורית, הוא <math>|\vec{L}| = r \cdot p \cdot \sin \alpha</math>, כאשר <math>\alpha</math> היא הזווית בין <math>\vec{r}</math> ל־<math>\vec{p}</math>, וכיוונו מקביל ל'''ציר''' הסיבוב (כלומר, '''ניצב''' למישור הסיבוב). בפרט, נובע מהנוסחה כי התנע הזוויתי הוא לא גודל מוחלט, והוא עשוי להשתנות עם שינוי מיקומה של ראשית הצירים. למשל, באיור מופיע (באדום) גוף, שיש לו תנע קווי במערכת המעבדה (מסומן ב-<math>\vec{ p</math>). בהנחה ש־<math>\vec{r}_B=2\cdot\vec{r}_A</math>, גודלו של L במערכת שבה B היא ראשית הצירים כפול מגודלו במערכת צירים שבה A היא ראשית הצירים. בנוסף, במערכת שבה C ראשית הצירים, גודלו של התנע הזוויתי מתאפס.
מנוסחה זו ניתן להסיק גם את ה[[יחידת מידה|יחידות]] של התנע הזוויתי. במערכת [[SI]]:
:<math>\left [\vec{L} \right] = \left [\vec{r}\times\vec{p}\right] = \left[r \right] \cdot \left [p \right] = \rm m\cdot\frac{kg\cdot m}{sec} = \frac{kg\cdot m^2}{{sec}^2}\cdot sec = J\cdot sec</math>
כלומר, לתנע הזוויתי יחידות של [[ג'ול]]-[[שנייה]] במערכת SI. באופן דומה ניתן להראות כי במערכת [[CGS]], היחידות של התנע הזוויתי הן [[ארג]]-שנייה.
▲[[קובץ:AngularMomentumOrigin.svg|ממוזער|התנע הזוויתי של גוף עם תנע קווי <math>\vec p</math>, בשלוש מערכות ייחוס שונות: A,{{כ}} B ו־C.]]
מהנוסחה לתנע הזוויתי נובע גם כי התנע הזוויתי הוא לא גודל מוחלט, והוא עשוי להשתנות עם שינוי מיקומה של ראשית הצירים. למשל, באיור מופיע (באדום) גוף, שיש לו תנע קווי במערכת המעבדה (מסומן ב-<math>\vec p</math>). בהנחה ש־<math>\vec{r}_B=2\cdot\vec{r}_A</math>, גודלו של L במערכת שבה B היא ראשית הצירים כפול מגודלו במערכת צירים שבה A היא ראשית הצירים. בנוסף, במערכת שבה C ראשית הצירים, גודלו של התנע הזוויתי מתאפס.
כמו כן, באמצעות הגדרת התנע הזוויתי, ניתן להסיק מ[[חוקי התנועה של ניוטון|החוק השני של ניוטון]] (<math>\vec F = \frac{\operatorname{d}\!\vec p}{\operatorname{d}\!t}</math>) חוק מקביל עבור תנועה סיבובית:
<math display="block">\vec \tau = \frac{\operatorname{d}\!\vec L}{\operatorname{d}\!t}</math>
כאשר הגוף מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע:
:<math>\ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2</math>
==התנע הזוויתי כ[[פסאודו-וקטור]]==
== תנע זוויתי במכניקת הקוונטים ==
אופרטור התנע הזוויתי <math>\vec{L}</math> הוא [[אופרטור]] [[וקטור (פיזיקה)|וקטורי]], המוגדר כ[[קוונטיזציה]] של התנע הזוויתי במכניקה הקלאסית:
:<math>\ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math>
כאשר <math>\vec{r}</math> הוא ''אופרטור'' ההעתק ו-ו־<math>\ \vec{p}</math> הוא ''אופרטור'' [[תנע#במכניקת הקוונטים|התנע הקווי]] הווקטורי (המוגדר בהצגת המקום המוגדר באמצעות ה[[גרדיאנט]]: <math>\ \vec{p} = -i \hbar \vec{\nabla}</math>).
מתוך הגדרה זו, מתקבלים שלושה אופרטורים סקלריים: <math>L_x , L_y , L_z</math> -– למשל, רכיב התנע הזוויתי בכיוון ציר <math>\hat z</math>:
:<math>\ L_z = x p_y - y p_x</math>
בנוסף, נהוג להגדיר אופרטור <math>L^2 = L_x ^2 + L_y ^2 + L_z ^2</math>, ובעזרתו להגדיר בסיס [[מצב קוונטי#מצבים עצמיים|מצבים עצמיים]] לשני האופרטורים <math>L^2</math> ו-ו־<math>L_z</math>. בסיס זה מאופיין על ידי שני [[מספר קוונטי|מספרים קוונטיים]], <math>l</math> ו-ו־<math>m</math>, ומקיים את משוואות ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]]:
* <math>\ L^2 | l,m \rang = \hbar^2 l (l+1) | l,m \rang</math>
* <math>\ L_z | l,m \rang = \hbar m | l,m \rang</math>
<!-- לחוק שימור התנע הזוויתי יש חשיבות רבה ויש להוסיף מידע בנושא -->
כאשר נתון חלקיק נתון בפוטנציאל ספרי-סימטריספרי_סימטרי (כלומר, הפוטנציאלפוטנציאל תלויהתלוי רק ב[[מרחק]] החלקיקr מהראשית r), נוח לעבוד ב[[קואורדינטות כדוריות]]. מאחר שהתנע הזוויתי מתחלף עם ה[[המילטוניאן]] ובבסיס זה אפשר לבצע [[הפרדת משתנים]] <math>\ \psi(\vec{r}) = R(r) Y_{l,m}\Theta(\theta,\phi)</math> ב[[משוואת שרדינגר]] ולקבל:
* משוואה עבור ה[[זווית|חלק הזוויתי]]:
**: <math>\ L^2 \Theta(\theta,\phi) = \left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}] \Theta(\theta,\phi) </math>
*: פתרוןפתרונותיה של משוואה זאת הןהם ה[[הרמוניות ספריות|הרמוניות הספריות]] <math>\ Y_{lTheta(\theta,\phi) = Y_l^m}(\theta,\phi)</math>.
* משוואה עבור החלק הרדיאלי:
**: <math>\left \frac{1}{r} \frac{\partial ^2 }{\partial r^2} \left( r R(r)\\cdot \right) + \frac{\hbar^2 l (l+1)}{2 m r^2} R(r) + V(r)\right R(r) = E \ R(r)</math>
*: פתרוןפתרונות המשוואה הרדיאלית לגבי <math>\ u(r) = rR(r)</math> מערב בדרך כלל [[פונקציות בסל]].
היכולת לבצע הפרדת משתנים זו היא תוצאה שללמעשה לכסון אופרטורהמצבים התנע הזוויתי שמתחלף עםשל ה[[המילטוניאן]] עם אופרטור התנע הזוויתי.
ב[[אטום המימן]], תנעשימור זוויתיהתנע הזוויתי הוא זהאחד שיוצרהגורמים ל[[ניוון (פיזיקה)|ניוונים]] המאפשרים לאכלס רמות אנרגיה זהות במספר מצבים קוונטים שונים. בנוסףעם זאת, עבור חלקיקים בעלי [[ספין]], ישנו אפקט[[צימוד של(פיזיקה)|צימוד]] בין הספין לתנע הזוויתי ([[צימוד ספין-מסילה]]), ובההמשנה נוצרתאת אינטראקציהצורת ביןההמילטוניאן, התנעומוסיף הזוויתילו של החלקיק לספין שלו,איבר מהצורה <math>\ H_{LS} = k \vec{L} \cdot \vec{S}</math>. במצב כזה, הניוון מוסר, וכדי שכדיללכסן לפתוראת אותהההמילטוניאן יש לעבור לבסיס אופרטורים חדש על ידי [[חיבור תנע זוויתי]], <math>\ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}</math>.
התנע הזוויתי הוא ה[[יוצר (אלגברה)|יוצר]] של הסיבובים. סיבובלכן, אופרטור הסיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב ציר בכיוון <math>\hat{n}</math> מתקבל על ידינתון הפעלתבעזרת האופרטורהתנע הבאהזוויתי: <math>\ R_\theta = \exp{ \left( \frac{i}{\hbar} \theta \hat{n} \cdot \vec{L} \right)}</math>.
==ראו גם==
| 