ויקיפדיה

מכניקה של גוף קשיח – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ ניסוחים, בעיקר
שיפוצים למיניהם
שורה 5:
==הקשר לדינמיקה של חלקיק יחיד==
[[תמונה:Moment of inertia examples.gif|שמאל|ממוזער|250px|באיור [[מומנט התמד|מומנטי התמד]] של גופים שונים. מומנט ההתמד הוא מדד להתנגדות של גוף קשיח לשינוי ב[[מהירות זוויתית|מהירות הזוויתית]] שלו.]]
ב[[דינמיקה (מכניקה)|דינמיקה]] הקלאסית של [[חלקיק]] יחיד (בהקשר זה הוא מכונה "גוף נקודתי"), על מנת לתאר תנועה של חלקיק במרחב יש לציין שלושה גדלים (לדוגמה: קואורדינטות האורך, הרוחב והגובה שלו), היות שהחלקיק יכול לנוע בשלושה כיוונים [[תלות לינארית|בלתי תלויים]]. במינוח פיזיקלי, לחלקיק יחיד יש 3 [[דרגות חופש]] מרחביות, והיות שהוא נקודתי אין לו דרגות חופש פנימיות. ניתן להראות כי לגוף קשיח, על אף שהוא עשוי להיות מורכב ממספר גדול מאוד של חלקיקים, יש תמיד בדיוק 6 דרגות חופש: תנועה בשלושה כיוונים, וסיבוב סביב שלושה צירים. בדומה לדינמיקה של חלקיק יחיד (ובאופן כללי יותר, בדומה לכל מערכת [[המילטוניאן|המילטונית]] עם מספר סופי של דרגות חופש), הדינמיקה של הגוף הקשיח מתארת את השינוי בזמן של שש הקואורדינטות של הגוף בכפוף לכוחות הפועלים עליו.
ניתן לפרק את תנועתו של גוף קשיח לתנועה קווית של [[מרכז המסה]] ולתנועה סיבובית של הגוף סביב עצמו. פירוק זה שימושי במיוחד, כיוון שתנועתו של [[מרכז המסה]] מתוארת לחלוטין על ידי הדינמיקה של חלקיק יחיד. באופן ציורי ניתן לומר כי מרכז המסה נע כאילו הוא היה חלקיק יחיד, והוא בכלל "לא יודע" שמחובר אליו גוף גדול. לעומת זאת, תנועתו הסיבובית של הגוף סביב עצמו היא מסובכת יותר ודורשת כלים מתמטיים מורכבים יותר כדי לנתחה.
 
שורה 14:
*[[החוק השני של ניוטון]] קובע כי נגזרתו של התנע הקווי לפי הזמן היא גודל הכוח הפועל הגוף, או בשפה מתמטית: <math>\sum \vec F=m \vec a</math>. בפשטנות, גודל זה הוא ה"גורם" לשינוי בתנועה הקווית. המקביל הסיבובי אליו, ה"גורם" לשינוי בתנועה הסיבובית של הגוף הקשיח, נקרא [[מומנט כוח]] ומוגדר כמכפלה ווקטורית בין הכוח למיקומו של הגוף. בשפה מתמטית: <math>\vec \tau = \vec{r} \times \vec{F} </math>. הכללה ישירה של החוק השני של ניוטון קובעת כי <math> \vec\tau=\frac{d}{dt}\vec L=I\vec\alpha</math>. כלומר, בהיעדר מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי במערכת נשמר.
 
* בדינמיקת החלקיק, מהווה ה[[מסה]] מדד להתנגדותו של גוף לשינוי תנועתו הקווית. הגודל המקביל בדינמיקה של גוף קשיח נקרא [[מומנט התמד]], המבטא מדד להתנגדותו של גוף לשינוי בתנועה הסיבובית שלו. היות שניתן לסובב גוף במספר כיוונים, מומנט ההתמד לא יכול להיות מורכב ממספר אחד בלבד (כמו המסה) אלא צריך להכיל מידע על התנגדות הגוף לסיבוב בכל הכיוונים. בשפה פיזיקלית אומרים כי מומנט ההתמד הוא [[טנזור]] (בניגוד למסה שהיא [[סקלר (פיזיקה)|סקלר]]). עם זאת, בבעיות פשוטות שבהן הגוף מסתובב תמיד סביב ציר אחד (כמו במקרה של [[קרוסלה]], לדוגמה) ניתן להחליף את הטנזור המלא של מומנט ההתמד במספר יחיד. קל לייצג את טנזור מומנט ההתמד על ידי [[מטריצה]], ובכל פעם ש ש־<math>\vec I</math> מופיע באחת המשוואות הרשומות למעלהבמשוואה, יש להבין את המשוואה כמכפלה של מטריצה בוקטור. כאשר רוצים להדגיש את עובדת היותו טנזור, הוא מסומן עם [[גג (סימן דיאקריטי)|גג]], <math>\hat I</math>. לדוגמה, בנוסחאהנוסחה <math>\vec L = \hat I\vec\omega</math> מתקבלמבטאת כיאת ישהעובדה שישנם מצבים בהם התנע הזוויתי אינו מקביל למהירות הזוויתית).
 
תובא להלן טבלה המדגימה את הגדלים המקבילים המתארים אתבתיאור תנועתו הקווית והסיבובית של הגוף:
 
{| class="wikitable" border="3" style="margin: auto;"
! colspan=2 |''' תנועה קווית של גוף נקודתי'''
! colspan=2 |''' תנועה סיבובית של גוף קשיח'''
|-
| [[תנע]] קווי -|| <math>\vec{{P}}</math>
| [[תנע זוויתי]] -|| <math>\vec{{L}}</math>
|-
| [[כוח (פיזיקה)|כוח]] -|| <math>\vec{{F}}</math>
| [[מומנט כוח|מומנט הכוח]] -|| <math>\vec{{\tau}}</math>
|-
| [[מסה]] -|| <math>\ {{m}}</math>
| [[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] -|| <math>\ I_{{ab}}</math>
|-
| [[העתק (פיזיקה)|העתק]] קווי -|| <math>\vec{{x}}</math>
| זווית הסיבוב -|| <math>\theta</math>
|-
| [[מהירות]] קווית -|| <math>\vec{{v}}</math>
| [[מהירות זוויתית]] -|| <math>\vec{{\omega}}</math>
|-
| [[תאוצה]] קווית -|| <math>\vec{{a}}</math>
| [[תאוצה זוויתית]] -|| <math>\vec{{\alpha}}</math>
|-
| [[החוק השני של ניוטון]] || <math>\vec{{F}}=m \vec a</math>
| colspan="2" align="center"| <math>\vec{{\tau}}=I \vec \alpha</math>
 
|-
| [[אנרגיה קינטית]] קווית -|| <math>K=\frac{{mvm v^2}}{{2}}</math>
| אנרגיה קינטית זוויתית- || <math>K=\frac{{I \omega^2}}{{2}}</math>
|-
|}
 
[[קובץ:Praezession.svg|שמאל|ממוזער|150px|תנועה מורכבת של גוף קווי המורכבת מסיבוב סביב צירו (בירוק), תזוזה של ציר הסיבוב הנקראת "[[נקיפה]]" (בכחול) ומסטיות ממנה הנקראות "נוטציות[[נוטציה (פיזיקה)|נוּטַצְיוֹת]]" (באדום)]]
<!-- ==תאור פיזיקלי==
 
שורה 55 ⟵ 56:
 
לעתים, תנועתו של הגוף הקשיח מורכבת גם משינוי בזמן של צירי הסיבוב, תופעה הנקראת [[נקיפה]]. כך, למשל, סביבון המסתובב כשהוא נוטה על צירו, משנה מנקודת מבטו של צופה חיצוני את ציר סיבובו בתלות בזמן. תופעה נוספת המאפיינת תנועה של גופים קשיחים היא סטיות קטנות של ציר הסיבוב ממסלולו, הנקראת [[נוטציות]].
 
-->
 
שורה 61:
בתורת הגוף הקשיח ישנן מספר תוצאות חשובות הנוגעות לתנועתם של גופים קשיחים. תובא כאן סקירה של מספר נקודות מרכזיות.
 
[[תמונה:Flight dynamics with text heb.PNG|שמאל|ממוזער|250px|צירי התנועההסיבוב הסיבובייםהטבעיים של ה[[מטוס]]]]
 
===חישוב מומנט ההתמד===
ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] של ה[[מטריצה]] המייצגת את מומנט ההתמד של הגוף הקשיח נקראים "מומנטי ההתמד שסביב הצירים הראשיים". כיוון שטנזור ההתמד מיוצג על ידי [[מטריצה סימטרית]], ניתן [[לכסון מטריצות|ללכסן]] אותו עבור כל גוף קשיח. בצורתו המלוכסנת של הטנזור, הצירים המתאימים לרכיביו נקראים "צירי התנועה הראשיים" (או, "צירי התנועה הטבעיים") והערכים על האלכסון הם מומנטי ההתמד הראשיים. לצירים הראשיים של גוף יש חשיבות רבה, כיוון שכאשר גוף מסתובב סביב ציר ראשי שלו, ציר הסיבוב נשאר קבוע. כלומר, לא מתרחשת [[נקיפה]]. תוצאה חשובה זו מראה ש'''לכל גוף קשיח''' קיימים שלושה צירים (לפחות) שסביבם ניתן לסובב את הגוף וציר הסיבוב יישאר קבוע. פרט לחשיבות התאורטית של התופעה, יש לה גם שימוש מעשי חשוב: בעת איזון גלגל כלי רכב ב[[מוסך]], פעולות המכונאי מכוונות לכך שציר הסיבוב הראשי של הגלגל יהיה מקביל ל[[סרן (רכב)|סרן]] המכונית, שאם לא כן, הגלגל "ירצה" לשנות את ציר הסיבוב שלו, מה שיגרום להפעלת כוח על הסרן ויכול אף להביא לשבירתו.▼
{{ערך מורחב|ערכים=[[מומנט התמד]], [[משפט שטיינר]]}}
מומנט ההתמד סביב ציר מסויים מוגדר כסיכום התרומות של כל אחת מהמסות המרכיבות את הגוף למומנט הכללי:
:<math>I \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_i m_i{\rho_i}^2 </math>
כאשר <math>\rho_i</math> הוא המרחק של המסה ה־i מציר הסיבוב. ב[[גבול הרצף]], הסכום הופך לאינטגרל:
:<math>I \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_V {\rho}^2(m) \,dm \!</math>
וכאן <math>\rho(m)</math> הוא המרחק של המסה m מציר הסיבוב.
 
[[משפטכתוצאה שטיינר]]מהגדרה הואזו, כלימתקבלת חישובידרך המאפשרלחשב את קביעת מומנט ההתמד של גוף סביב ציר תנועה מסוים, בהינתן מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר מקביל, הממוקםהעובר במרכזדרך מרכז המסה של הגוף. תוצאה זו נקראת "'''משפט שטיינר'''". בניסוח מתמטי, אם <math>I_{cm}</math> הוא מומנט ההתמד סביב ציר העובר במרכז המסה, אז <math>I_s</math>, מומנט ההתמד סביב ציר אחר המקביל לציר הקודםלו נתון על ידי הנוסחאבנוסחה <math>I_s = I_{cm} + m d^2</math>, כאשר m היא מסת הגוף ו-dו־d המרחק בין שני הצירים.▼
 
===טנזור מומנט ההתמד===
▲ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] של ה[[מטריצה]] המייצגת את מומנט ההתמד של הגוף הקשיח נקראים "מומנטי ההתמד שסביב הצירים הראשיים". כיוון שטנזור ההתמד מיוצג על ידי [[מטריצה סימטרית|סימטרי]], ניתן [[לכסון מטריצות|ללכסן]] אותו עבור כל גוף קשיח. בצורתו המלוכסנת של הטנזור, הצירים המתאימים לרכיביו נקראים "צירי התנועה הראשיים" (או, "צירי התנועה הטבעיים") והערכים על האלכסון הם מומנטי ההתמד הראשיים. לצירים הראשיים של גוף יש חשיבות רבה, כיוון שכאשר גוף מסתובב סביב ציר ראשי שלו, ציר הסיבוב נשאר קבוע. כלומר, לא מתרחשת [[נקיפה]]. תוצאה חשובה זו מראה ש'''לכל גוף קשיח''' קיימים שלושה צירים (לפחות) שסביבם ניתן לסובב את הגוף וציר הסיבוב יישאר קבוע. פרט לחשיבות התאורטית של התופעה, יש לה גם שימוש מעשי חשוב: בעת איזון גלגל כלי רכב ב[[מוסך]], פעולות המכונאי מכוונות לכך שציר הסיבוב הראשי של הגלגל יהיה מקביל ל[[סרן (רכב)|סרן]] המכונית, שאם לא כן, הגלגל "ירצה" לשנות את ציר הסיבוב שלו, מה שיגרום להפעלת כוח על הסרן ויכול אף להביא לשבירתו.
 
מבחינת החישוב, חלק מהמשוואות הופכות פשוטות יותר אם מלכסנים את טנזור מומנט ההתמד. כך, למשל, האנרגיה הקינטית הכוללת במצב זה היא סכום האנרגיות המתקבלות מתנועה סביב כל אחד מהצירים.<ref>בכתיב מתמטי:
<math>K=\frac{{1}}{{2}}I_{11} \omega_1^2+\frac{{1}}{{2}}I_{22} \omega_2^2+\frac{{1}}{{2}}I_{33} \omega_3^2</math>{{כ}}.</ref>
 
המשוואות המתארות תנועות מורכבות של גוף קשיח, בפרט כאלו הכוללות [[נקיפה]] ו[[נוטציה (פיזיקה)|נוטציה]], נקראות [[משוואות אוילר (מכניקה של גוף קשיח)|משוואות אוילר]], על שמו של ה[[פיזיקאי]] וה[[מתמטיקאי]] [[לאונרד אוילר]]. אלו הן שלוש משוואות הקושרות את מומנטי ההתמד של הגוף סביב ציריו הראשיים, מומנטי הכוח הפועלים עליו, המהירויות הזוויתיות סביב צירים אלו וקצב השינוי שלהן(התאוצה הזוויתית) ב[[מערכת ייחוס|מערכת הייחוס]] של הגוף הנע.<ref>המשוואות הן{{ש}}
:<math>
\begin{matrix}
שורה 77 ⟵ 88:
</math>
כאשר <math>\tau_i</math> הם רכיבי מומנט הכוח, <math>\omega_i</math> הם רכיבי וקטור ה[[מהירות זוויתית|מהירות הזוויתית]], ו־<math>I_i</math> הם מומנטי ההתמד סביב הצירים הראשיים של הגוף. ניתן לסכם את המשוואות הללו למשוואה וקטורית אחת:
:<math>\hat I \cdot \dot{\vec{\omega}} + \vec{\omega} \times \left( \hat{I} \cdot \vec{\omega} \right) = \vec{\tau}</math>▼
 
▲:<math>I \cdot \dot{\vec{\omega}} + \vec{\omega} \times \left( {I} \cdot \vec{\omega} \right) = \vec{\tau}</math>
 
</ref>
 
===משפט שטיינר===
▲[[משפט שטיינר]] הוא כלי חישובי המאפשר את קביעת מומנט ההתמד של גוף סביב ציר תנועה מסוים, בהינתן מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר מקביל, הממוקם במרכז המסה של הגוף. אם <math>I_{cm}</math> הוא מומנט ההתמד סביב ציר העובר במרכז המסה, אז <math>I_s</math>, מומנט ההתמד סביב ציר אחר המקביל לציר הקודם נתון על ידי הנוסחא <math>I_s = I_{cm} + m d^2</math> כאשר m היא מסת הגוף ו-d המרחק בין הצירים.
 
==גוף קשיח ב[[תורת היחסות]]==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מכניקה_של_גוף_קשיח"