הבדלים בין גרסאות בדף "גאומטריה אוקלידית"

מ
קישורים פנימיים: הוספת חדשים והסרת רוב הכפילויות.
מ (קישורים פנימיים: הוספת חדשים והסרת רוב הכפילויות.)
'''הגאומטריה האוקלידית''' היא התורה המתמטית של [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]], [[ישר]]ים ו[[מעגל]]ים ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם [[אוקלידס]] בספרו [[יסודות (ספר)|יסודות]], והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, אבל רק ביוון נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.
 
במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה ה[[גאומטריה]] היחידה. ניסיונות [[הוכחה|להוכיח]] את [[אקסיומת המקבילים]] הביאו ב{{ה|מאה ה-19}} לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מקבלות את האקסיומה הזו, והן קרויות [[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות לא אוקלידיות]].
 
גאומטריה אוקלידית נמנית עם [[מתמטיקה#ענפי המתמטיקה|ענפי המתמטיקה]] המעטים הנלמדים ב[[בית ספר יסודי|בית הספר היסודי]] ו[[בית ספר תיכון|התיכון]]. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים [[תורת ההוראה|דידקטי]]ים, בין '''גאומטריית המישור''' (או '''הנדסת המישור'''), העוסקת בגופים [[מישור (גאומטריה)|מישור]]יים בלבד, כגון [[משולש]] ו[[מעגל]], ובין '''גאומטריית המרחב''' (או '''הנדסת המרחב'''), העוסקת בגופים [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדיים]], כגון [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]] , [[קובייה]] ו[[כדור (גאומטריה)|כדור]].
 
==אקסיומות==
אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות [[ספר|ספרו]] "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מושגי יסוד, ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], ה[[ישר]], שאינם מוגדרים, ומקבלים את משמעותם והתכונות שלהם מן האקסיומות שהם מקיימים. הנקודה והישר מאפשרים להגדיר את המעגל והזווית, המקיימים יחד חמש הנחות יסוד כלליות, וחמש [[אקסיומה|אקסיומות]]:
#אפשר להעביר [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] [[ישר]] בין שתי [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]].
#אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
#אפשר לתאר [[מעגל]] על-פי מרכז ו[[רדיוס]].
#כל [[זווית ישרה|הזוויות הישרות]] שוות ביניהן.
#אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (השקולה לטענה: דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.)
 
האקסיומה החמישית, המכונה "[[אקסיומת המקבילים]]", נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה מובנת מאליה, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם ב{{ה|מאהבמאה ה-19}} הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת [[גאומטריה היפרבולית|הגאומטריה ההיפרבולית]] שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא [[גאומטריה לא-אוקלידית]]. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא-אוקלידית.
 
האקסיומות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש ב[[מערכת האקסיומות של הילברט]] שהציע [[דויד הילברט]] בסוף [[המאה ה-19]].
 
פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.